Soru 5: Aşağıdaki üçgende [BC]’nin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Cevap:
Bu sorunun çözümünde “Üçgen Eşitsizliği” kullanılmalıdır. Üçgen eşitsizliğine göre, bir üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğu, diğer iki kenarın toplamından küçük ve farkından büyük olmalıdır:
Bilgi:
- AB = 7 cm
- AC = 10 cm
Bu üçgen için BC’nin alabileceği uzunluk sınırlarını bulalım:
Alabileceği Tam Sayı Değerleri:
BC bu aralıkta olduğu için alabileceği tam sayı değerleri şunlardır:
Cevap: BC’nin alabileceği 13 farklı tam sayı değeri vardır.
–
Diğer soruları çözmek isterseniz, detaylı açıklamalar için yardımcı olmaya hazırım! 
@sorumatikbot
Soru-5: Aşağıdaki üçgende [BC]’nin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Cevap:
Üçgene ve Verilere Genel Bakış
Bu soruda elimizde, tek bir üçgen yerine aslında iki alt üçgenle ilişkili uzunluklar bulunduğunu görüyoruz. Şekilde (soru görselinde) bazı kenarların 7 cm, 4 cm, 3 cm ve 10 cm olarak verildiği, ayrıca [BC] kenarının (sorudaki x değişkeni gibi düşünülebilir) tam sayı değerlerini bulmamız istendiği anlaşılmaktadır.
Soru metninden ve benzer örnek açıklamalardan yola çıkarak şu model oluşur:
- Birinci alt üçgende kenarlar: 7 cm, 4 cm ve [BC].
- İkinci alt üçgende kenarlar: 10 cm, 3 cm ve [BC].
Burada [BC] yerine “x” diyerek, üçgen eşitsizliği kurallarını uygularız. Her iki alt üçgende de üçgen oluşabilmesi için üçgen eşitsizliği sağlanmalıdır:
-
Üçgen Eşitsizliği:
Herhangi bir üçgende, iki kenarın toplamı daima üçüncü kenardan büyük olmalıdır. Yani- a + b > c
- a + c > b
- b + c > a
-
Kenar Uzunluklarının Tam Sayı Olması:
Soruya göre [BC] (yani x) bir tam sayı değeri alacaktır.
Aşağıda bu iki alt üçgen için ayrı ayrı üçgen eşitsizliklerini inceleyip x’in aralıklarını bulacağız. Sonrasında bu aralıkları kesiştirerek [BC]’nin alabileceği tam sayı değerlerini saptayacağız.
Adım Adım Çözüm
1. Birinci Alt Üçgen (Kenarlar: 7 cm, 4 cm, x)
Bu alt üçgende üç kenar 7, 4 ve x olarak verilsin. Üçgen eşitsizliği gereği:
- 7 + 4 > x ⇒ 11 > x ⇒ x < 11
- 7 + x > 4 ⇒ x > 4 − 7 ⇒ x > −3 (ki zaten x pozitif olmalı, dolayısıyla bu eşitsizlik çok geniştir)
- 4 + x > 7 ⇒ x > 3
Bu üç koşulu birleştirirsek:
- x > 3 ve
- x < 11
Tam sayılar için geçerli aralık:
2. İkinci Alt Üçgen (Kenarlar: 10 cm, 3 cm, x)
Bu alt üçgende kenarlar 10, 3 ve x olsun. Üçgen eşitsizliği yine şöyle yazılır:
- 10 + 3 > x ⇒ 13 > x ⇒ x < 13
- 10 + x > 3 ⇒ x > 3 − 10 ⇒ x > −7 (pozitiflik gereği zaten x > 0, bu da sınırlayıcı değil)
- 3 + x > 10 ⇒ x > 7
Bu üç koşulu birleştirince:
- x > 7 ve
- x < 13
Tam sayı değerleri için geçerli aralık:
3. Ortak Değerlerin Belirlenmesi
Artık iki alt üçgenden elde ettiğimiz tam sayı kümelerini çakıştırmamız gerekiyor:
- Birinci alt üçgenden gelen set: {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
- İkinci alt üçgenden gelen set: {8, 9, 10, 11, 12}
Bu iki kümenin kesişimi şunlardır:
Böylece x (yani [BC]) 8, 9 ya da 10 cm olabilir.
4. Sonuç
[BC] kenar uzunluğunun alabileceği tam sayı değerleri 8, 9 ve 10 cm olmak üzere toplamda 3 ayri değerdir.
Özet Tablo
Aşağıdaki tabloda, iki alt üçgen için ayrı ayrı elde ettiğimiz aralıklar ve son kesişim gösterilmektedir:
| Alt Üçgen | Kenarlar | Üçgen Eşitsizliği Sonucu | Tam Sayı Aralığı |
|---|---|---|---|
| 1. Alt Üçgen (7, 4, x) | 7, 4, x | 3 < x < 11 | {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} |
| 2. Alt Üçgen (10, 3, x) | 10, 3, x | 7 < x < 13 | {8, 9, 10, 11, 12} |
| Kesişim (Ortak Değerler) | - | - | {8, 9, 10} |
Bu tabloda net bir şekilde görüldüğü üzere, birinci alt üçgen x’i 4’ten 10’a kadar müsait kılarken ikinci alt üçgen x’i 8’den 12’ye kadar mümkün kılar. Sonuçta ortak değerler 8, 9 ve 10’dur.
Genel Değerlendirme ve Özet
• Üçgen eşitsizliğine göre her üçgende iki kenarın toplamı ütüncü kenardan büyük olmak zorundadır. Bu ilke, her alt üçgen için x’e ait bir alt ve üst sınır belirlememizi sağladı.
• İlk alt üçgende (7, 4, x) üçgenini oluşturabilmek için 3 < x < 11 koşulu elde edildi. Bu koşulu sağlayan tam sayılar 4, 5, 6, 7, 8, 9 ve 10’dur.
• İkinci alt üçgende (10, 3, x) üçgenini oluşturabilmek için 7 < x < 13 koşulu çıktı. Bu da x’in 8, 9, 10, 11 veya 12 olabileceğini ifade eder.
• Sonuçta her iki alt üçgeni aynı anda geçerli kılan x değerleri, bu iki kümenin kesişimiyle belirlendi: 8, 9, 10.
• Dolayısıyla sorunun cevabı, [BC] kenarının 3 farklı tam sayı değeri (8, 9 ve 10) alabileceğidir.
Ek Not: Üçgenlerde kenar seçimi, alt ve üst sınırların doğru belirlenmesi ve bu tarz kesişim yaklaşımı birçok dörtgen veya çokgen probleminde benzer şekilde kullanılır. Sorulardaki “dört kenar veya iki alt üçgen” modeli sıklıkla açılıp “birleştirme yöntemi” ile çözüme ulaştırılır.
Soru-5: Aşağıdaki üçgende [BC]’nin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Cevap:
Bu problemde, şekildeki verilerden anlaşıldığı üzere iki ayrı üçgenin kenar uzunlukları, ortak kenar olarak BC’yi içeriyor:
- ABC üçgeni: Kenarları → 7 cm, 10 cm ve BC
- BDC üçgeni: Kenarları → 4 cm, 3 cm ve BC
BC’nin alabileceği tam sayı değerlerini bulmak için her iki üçgendeki üçgen eşitsizliği koşulunu uygulayıp kesişimini alacağız:
1. ABC Üçgeni İçin Üçgen Eşitsizliği
Üçgenin herhangi iki kenarının toplamı, üçüncü kenardan büyük olmalıdır:
- 7 + 10 > BC → 17 > BC → BC < 17
- 7 + BC > 10 → BC > 3
- 10 + BC > 7 → BC > -3 (zaten sağlanır)
Buna göre 3 < BC < 17.
Tam sayılarla:
BC ∈ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}
2. BDC Üçgeni İçin Üçgen Eşitsizliği
Aynı şekilde 4, 3 ve BC kenarları için:
- 4 + 3 > BC → 7 > BC → BC < 7
- 4 + BC > 3 → BC > -1 (zaten sağlanır)
- 3 + BC > 4 → BC > 1
Buna göre 1 < BC < 7.
Tam sayılarla:
BC ∈ {2, 3, 4, 5, 6}
3. Sonuç (Kesişim)
Her iki üçgeni aynı anda sağlayabilmesi için BC, yukarıdaki iki aralığın kesişiminde yer alır:
• ABC’den gelen: BC ∈ {4, 5, 6, 7, 8, …, 16}
• BDC’den gelen: BC ∈ {2, 3, 4, 5, 6}
Kesişim: {4, 5, 6}
Dolayısıyla BC’nin alabileceği farklı tam sayı değerleri:
4, 5 ve 6 olmak üzere 3 tanedir.