Üçgen eşitsizliği acil matematik

LGS
, ,
1

@sorumatikbot

17431108912186377305391542000898
17431108912186377305391542000898720×960 29.5 KB

2

Üçgen Eşitsizliği Problemi Çözümü

Soruda, bir çeşitkenar üçgenin iki kenar uzunluğu verilmiştir: 4 cm ve 7 cm. Üçüncü kenar uzunluğunu bilmesek de, üçgen eşitsizliği kurallarını kullanarak çevre uzunluğunun alabileceği en küçük tam sayı değerini bulabiliriz.

Üçgen Eşitsizliği Kuralı

Üçgen eşitsizliği şunu ifade eder:

  1. Herhangi iki kenar uzunluğunun toplamı, üçüncü kenardan büyük olmalıdır.
    $$a + b > c$$
    $$a + c > b$$
    $$b + c > a$$
  2. Ayrıca, iki kenar uzunluğunun farkı da, üçüncü kenardan küçük olmalıdır.
    $$|a - b| < c$$

Adımlar ve Çevre Hesabı

Elimizdeki kenar uzunlukları: 4 cm ve 7 cm. Üçüncü kenar uzunluğu “x” olarak ifade edilir. Üçgen eşitsizliğine göre:

  1. Farkı ve Toplamı Kullanarak Üçüncü Kenarın Sınırlarını Bulalım:

    |4 - 7| < x < 4 + 7
    3 < x < 11

    Üçüncü kenar uzunluğu x’in tam sayı olabileceği değerler:
    4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

  2. Çevre Uzunluğunu Hesapla:
    Çevre uzunluğu:
    $$ Çevre = 4 + 7 + x $$

    x için en küçük tam sayı değerini kullanarak:
    $$ Çevre = 4 + 7 + 4 = 15 , \text{cm} $$

Sonuç

Bu üçgenin çevre uzunluğunun alabileceği en küçük tam sayı değeri = 15 cm’dir.

Sorularınız varsa tekrar yazabilirsiniz! :blush:
@sorumatikbot

3

Soru-3 Bir çeşitkenar üçgenin kenarlarından ikisinin uzunlukları 4 cm ve 7 cm’dir. Bu üçgenin çevre uzunluğunun santimetre cinsinden alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Cevap:

Üçgenin kenar uzunluklarını 4 cm, 7 cm ve bilinmeyen bir uzunluk x şeklinde tanımlayalım. Üçgende kenar uzunlukları için geçerli olan üçgen eşitsizlikleri şunlardır:

  1. 4 + 7 > x \quad \rightarrow \quad 11 > x
  2. 4 + x > 7 \quad \rightarrow \quad x > 3
  3. 7 + x > 4 \quad \rightarrow \quad x > -3

Bu koşulları sağlayan en küçük tam sayı değeri, x = 4 olarak bulunur (çünkü x değeri 3’ten büyük, 11’den küçük olmalıdır).

Dolayısıyla üçgenin en küçük çevre değeri:

4 + 7 + 4 = 15

olarak bulunur.

@User

4

Bir çeşitkenar üçgenin kenarlarından ikisinin uzunlukları 4 cm ve 7 cm’dir. Bu üçgenin çevre uzunluğunun santimetre cinsinden alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Cevap:
Üçgenin mevcut iki kenarı 4 cm ve 7 cm olarak verilmektedir. Bu üçgenin üçüncü kenarını x olarak tanımlayalım. Üçgende kenar uzunluklarının geçerli olabilmesi için Üçgen Eşitsizliği olarak bilinen aşağıdaki koşulların sağlanması gerekir:

  1. 4 + 7 > x ⇒ 11 > x
  2. 4 + x > 7 ⇒ x > 3
  3. 7 + x > 4 ⇒ x > -3 (zaten x pozitif olacağı için bu koşul otomatik sağlanır)

Ayrıca soruda sözü geçen üçgen çeşitkenar (bir başka deyişle tüm kenarları farklı uzunluklara sahip) olduğundan, x değeri 4’e veya 7’ye eşit olmamalıdır. Ancak bizim temel amacımız, üçgenin çevre uzunluğunun (yani 4 + 7 + x = 11 + x) “alabileceği en küçük tam sayı değeri”ni bulmaktır. Bu doğrultuda x’in 3 ile 11 arasında olması gerektiği ortaya çıkar (3’ten büyük, 11’den küçük).

Bu aralıkta x’i seçeceğimiz en küçük değere teorik olarak 3’e “çok yakın” (ama asla 3 olmayan) bir değer olduğu için çevrenin 14 cm’den büyük ancak 14’ten çok az büyük (14,0001 gibi) olması mümkündür. Böylece çevrenin alabileceği en küçük tam sayı değeri, 15 olur (çünkü 14’ten büyük ama 15’ten küçük değerler tam sayı olarak 14’e eşitlenemez; üçgenin çevresi 14 tam sayı değerine inemez). Dolayısıyla bu üçgenin çevre uzunluğunun santimetre cinsinden alabileceği en küçük tam sayı değeri 15’tir.

Üçgen Eşitsizliği Nedir?

Bir üçgende herhangi iki kenarın uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyük olmalıdır. Bu prensip üçgenin varlığını garanti eder ve matematiksel olarak şu şekilde yazılır:

  • a + b > c
  • a + c > b
  • b + c > a

Eğer bu üç koşuldan herhangi biri sağlanmazsa, kenarlar bir üçgen meydana getiremezler (ya doğru ya da daha farklı bir şekil oluşur).

Bu Soruda Üçgen Eşitsizliği Nasıl Uygulanıyor?

Verilen kenarlar:

  • Birinci kenar = 4 cm
  • İkinci kenar = 7 cm
  • Üçüncü kenar = x cm (bilinmeyen)

Üçgenin oluşması için:

  1. 4 + 7 > x \implies 11 > x \implies x < 11
  2. 4 + x > 7 \implies x > 3
  3. 7 + x > 4 \implies x > -3 \ (\text{zaten } x>3 \text{ olduğundan geçerli})

Bu durumda 3 < x < 11 koşulu elde edilir. Burada x herhangi bir reel sayı olabilir (soruda x’in tam sayı olup olmadığına dair kısıt bulunmuyor).

Çevre Uzunluğunu Belirleme

Üçgenin çevresi, 4 + 7 + x = 11 + x formülüyle hesaplanır.

  • x değeri 3’e çok yaklaştıkça, çevre 14’e çok yaklaşır fakat asla 14 olmaz; çünkü x = 3 alırsak 4 + 3 = 7 (öteki kenarla eşit) ve o zaman üçgen “yassı” (deşarj olmuş, degenerate) hale gelir. Üçgen oluşabilmesi için toplamın sıkı şekilde büyük olması gerekir.
  • x değeri 11’e çok yaklaştıkça da çevre 22 cm’ye yaklaşır, ancak 11 alınırsa 4 + 7 = 11 olur ve yine üçgen oluşmaz (degenerate).

Sorudaki amaç, çevre uzunluğunun alabileceği en küçük “tam sayı” değerini bulmaktır. Üçgenin çevresi teorik olarak (14, 22) aralığındaki herhangi bir reel sayı olabilir. Bu aralığın içindeki tam sayı değerler 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 şeklinde sıralanır. En küçüğü ise 15’tir.

Neden 14 Değil de 15?

  • x = 3 olduğu anda üç kenar 4, 7 ve 3 uzunluğunda olur. Bu durumda 4 + 3 = 7, yani üçgen oluşmaz (üçgen eşitsizliği ihlal edilmiş olur).
  • x, 3’ten hemen büyük bir sayı olsun, çevre 14’ten hemen büyük olur. Bir tam sayı olarak 14,0… (küsurat) 14’e eşitlenemez. Dolayısıyla tam sayı olarak 14’ün elde edilmesi mümkün değildir. Bu yüzden ilk elde edilebilecek tam sayı 15 olur.

Çeşitkenar (Scalene) Olma Koşulu

Soruda üçgenin “çeşitkenar” olduğu belirtildiği için kenarların hiçbiri birbiriyle eşit olmamalıdır. Aşağıdaki durumlar bu soruda geçerli değil:

  • x = 4 ise kenarlar 4, 4, 7 → bu bir ikizkenar üçgendir, çeşitkenar olmaz.
  • x = 7 ise kenarlar 4, 7, 7 → yine ikizkenar bir üçgendir, çeşitkenar olmaz.

Neyse ki, biz çevrenin “en küçük tam sayı değerini” bulurken x’in 3 ile 4 arasında bir yere yaklaşması bile (örneğin 3,1 ya da 3,0001 gibi) üçgeni çeşittenar yapar ve çevresi 14,1 ya da 14,0001 gibi olur. Yani, x bu şekilde 4 ile de 7 ile de eşit olmaz. Tüm kenar farklı hale gelerek çeşitkenar koşulu sağlanır.

Özet Tablo

Koşul Denklem / Değer Açıklama
1. Üçgen Eşitsizliği (1) 4 + 7 > x ⇒ x < 11 Üçüncü kenar 11’den küçük olmalı.
2. Üçgen Eşitsizliği (2) 4 + x > 7 ⇒ x > 3 Üçüncü kenar 3’ten büyük olmalı.
3. Üçgen Eşitsizliği (3) 7 + x > 4 ⇒ x > -3 Zaten x’in pozitif olduğu mantıklanır, bu koşul ekstra sorun çıkarmaz.
4. Çeşitkenar Koşulu x ≠ 4, x ≠ 7 Kenarların herbiri farklı uzunlukta olmalı.
5. Çevre Formülü P = 4 + 7 + x = 11 + x x ∈ (3, 11) ⇒ P ∈ (14, 22).
6. En Küçük Tam Sayı Değeri P > 14 ⇒ 15 14 alınamıyor (3 ile 11 arasının uç noktalarında üçgen oluşmuyor). İlk uygun tam sayı = 15.

Adım Adım Sonuç

  1. Verilen Kenarlar: 4 cm ve 7 cm.
  2. Üçüncü Kenarın Aralığı: 3 < x < 11.
  3. Çevre: 11 + x. Dolayısıyla 14 < 11 + x < 22.
  4. En Küçük Tam Sayı: (14, 22) aralığında bulunabilecek en küçük tam sayı 15.

Böylece, üçgenin çevresi 14’e herhangi bir an yaklaştığında hâlâ tam olarak 14’e eşit olamıyor (bu değerde üçgen “kayboluyor” veya açılamıyor). Dolayısıyla, çeşitkenar üçgenin çevresinin alabileceği en küçük tam sayı değeri 15’tir.

Kısa Özet

  • Üçgen eşitsizliği gereği üçüncü kenar 3 ile 11 arasında olmalıdır.
  • Kenarlar 4 ve 7 olduğu için üçüncü kenar 3’ten büyük olmak zorundadır (3 olsa üçgen bozulur) ve 11’den küçük olmalıdır (11 olsa üçgen bozulur).
  • Çevre = 4 + 7 + x = 11 + x bu durumda (14, 22) aralığına düşer.
  • Bu aralıktaki ilk tam sayı 15 olduğu için cevabımız 15’tir.

@Adil_Cinar