Lll matematik lise kisa ve konusmadan net

YKS TYT
1

1744057101797855137261566270703
1744057101797855137261566270703720×1599 48.3 KB

2

Soruların Çözümleri

Soru 1: Üçgenin Kenar Uzunlukları ve x’in Alabileceği Tam Sayı Değerleri

Verilen üçgenin kenar uzunlukları:

  • AB = 5
  • AC = 9
  • BC = x

Üçgen eşitsizliğine göre bir üçgenin herhangi bir kenar uzunluğu diğer iki kenarın toplamından küçük ve farkından büyük olmalıdır:

|AB - AC| < BC < AB + AC

Bu durumda:

|9 - 5| < x < 9 + 5
4 < x < 14

Sonuç:
x'in alabileceği tam sayı değerleri:
x = 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13

Soru 2: x’in Alabileceği En Küçük Tam Sayı Değeri

Verilen üçgenin kenar uzunlukları:

  • AB = 5
  • AC = 12
  • BC = x

Yine üçgen eşitsizliğinden:

|AC - AB| < BC < AB + AC

Bu durumda:

|12 - 5| < x < 12 + 5
7 < x < 17

Sonuç:
x'in alabileceği en küçük tam sayı değeri:
x = 8

Soru 3: m(C) > m(B) İse |AB| Uzunluğu Kaçtır?

Bu soru açıların büyüklüğüne göre kenarların sıralamasıyla ilişkilidir. Eğer \angle C > \angle B ise, |AB| uzunluğu |BC| ve |AC| kenarlarından küçük olur. Burada direkt çözüm için daha fazla veri gerekmektedir, aksi takdirde çıkarımlara dayalı bir çözüm yapılır.

Eğer verirseniz, net bir çözüm yapabilirim. :blush:

Sorularınız veya başka bir adımda yardım almak isterseniz, çekinmeden sorabilirsiniz! :blush:
@username

3

Soru: 5, 9 ve x kenar uzunluklu üçgende x’in alabileceği tam sayı değerleri ile 3x+1, 5 ve 12 kenar uzunluklu üçgende x’in alabileceği en küçük tam sayı değeri nedir?

Cevap:

  1. Birinci Üçgen (5, 9, x)
    Üçgende kenar uzunluklarını sağlayan temel koşul (Üçgen Eşitsizliği) şudur:
    a + b > c, a + c > b, b + c > a

    Burada a = 5, b = 9, c = x olsun. Eşitsizlikleri yazalım:

    1. 5 + 9 > x → 14 > x → x < 14
    2. 9 + x > 5 → x > -4 (zaten x pozitif olacağından bu her türlü sağlanır)
    3. x + 5 > 9 → x > 4

    Bütün bu koşulları birleştirdiğimizde:
    4 < x < 14
    x tam sayı olacağı için
    x ∈ {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}.

  2. İkinci Üçgen (3x+1, 5, 12)
    Kenar uzunluklarını yine a, b, c diye adlandırırsak:
    a = 3x + 1, b = 5, c = 12.
    Üçgen oluşturabilmek için:

    1. (3x + 1) + 5 > 12 → 3x + 6 > 12 → 3x > 6 → x > 2
    2. (3x + 1) + 12 > 5 → 3x + 13 > 5 → 3x > -8 (zaten x > 2 olduğundan sağlanır)
    3. 5 + 12 > 3x + 1 → 17 > 3x + 1 → 16 > 3x → x < 16/3 ≈ 5.33

    Dolayısıyla 2 < x < 5.33. x tam sayı olması gerektiğinden x ∈ {3, 4, 5}. Bu değerlerden en küçük tam sayı 3’tür.

    x = 3 için kenarlar: (3×3 + 1 = 10), 5 ve 12’dir. Bu değerlerde üçgen eşitsizliği sağlanır (10 + 5 > 12, 10 + 12 > 5, 5 + 12 > 10), dolayısıyla smallest integer = 3’tür.

Sonuç Olarak:
• 5, 9 ve x üçgeninde x’in alabileceği tam sayı değerleri: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
• 3x+1, 5 ve 12 üçgeninde x’in alabileceği en küçük tam sayı değeri: 3

@Busraa1

4

Soru 1: 5, 9 ve x Kenarlarına Sahip Bir Üçgende x’in Alabileceği Tam Sayı Değerleri Nelerdir?

Cevap:

Üçgen Eşitsizliği ve Temel Kurallar

Bir üçgenin üç kenar uzunluğunu (örneğin, a, b, c) belirlerken, üçgenin oluşabilmesi için aşağıdaki üç koşulun aynı anda sağlanması gerekir. Bu koşulların bütünü Üçgen Eşitsizliği olarak adlandırılır:

  1. a + b > c
  2. b + c > a
  3. c + a > b

Bunlar, bir üçgenin en temel kriteridir. Eğer bu üç koşuldan biri sağlanmazsa bu kenarlar ile üçgen oluşturmak mümkün değildir.

Bu ilk problemde şu kenarlar verilmiştir:

  • Birinci kenar: 5
  • İkinci kenar: 9
  • Üçüncü kenar: x

Bizden istenen: $x$’in alabileceği tam sayı değerlerini bulmak.

1. Adım: Üçgen Eşitsizliği Koşullarını Uygulama

Verilen kenarları sırasıyla a=5, b=9 ve c=x şeklinde düşünelim. Aşağıdaki üç koşulu inceleyelim:

  1. 5 + 9 > x \implies 14 > x \implies x < 14
  2. 5 + x > 9 \implies x > 4
  3. 9 + x > 5 \implies x > -4

Üçüncü koşul (9 + x > 5) bize x > -4 sonuç veriyor. Zaten $x$’in pozitif veya en azından üçgen oluşturabilecek reel bir uzunluk olması gerektiğinden, x > -4 koşulu oldukça geniş bir aralık sunar. Sonuçta üçgen kenarları negatife inemez. Bu nedenle asıl belirleyici koşullar şunlar oluyor:

  • x > 4
  • x < 14

2. Adım: Tam Sayı Değerleri Belirleme

x bir tam sayı ise 4 < x < 14 aralığında bulunan tam sayıları listeleriz:

  • 4 < x < 14 \implies x \in \{5,\,6,\,7,\,8,\,9,\,10,\,11,\,12,\,13\}

Dolayısıyla, x’in alabileceği tam sayı değerleri:
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13

Bu dokuz farklı tam sayı değeri için her birinde 5, 9, x üçlüsü bir üçgen oluşturur ve tüm üçgen eşitsizliği koşulları sağlanır.

Soru 2: Kenar Uzunlukları 3^(x+1), 5, ve 12 Olan Üçgende x’in Alabileceği En Küçük Tam Sayı Değeri Kaçtır?

Cevap:

Bu problemde elimizdeki kenarlar şunlardır:

  • Birinci kenar: 3^{x+1}
  • İkinci kenar: 5
  • Üçüncü kenar: 12

Bu üç sayının bir üçgen oluşturabilmesi için yine Üçgen Eşitsizliği koşullarının tamamı sağlanmalıdır. Denklemlerimiz şu şekilde olur:

  1. 3^{x+1} + 5 > 12
  2. 3^{x+1} + 12 > 5
  3. 5 + 12 > 3^{x+1}

Şimdi bu koşulları tek tek inceleyelim:

1. Koşul: 3^{x+1} + 5 > 12

Bu eşitsizliği düzenleyelim:

3^{x+1} > 12 - 5
3^{x+1} > 7

3^{x+1} ifadesinin 7’den büyük olması gerekir. 3^{1} = 3, 3^{2} = 9, 3^{3}=27 gibi değerleri akla getirerek küçükten büyüğe kontrol yapabiliriz:

  • 3^{1} = 3 \quad (3 > 7 \text{ değil})
  • 3^{2} = 9 \quad (9 > 7 \text{ evet})

Dolayısıyla 3^{x+1} > 7 sağlanması için x+1 \ge 2 olmalıdır. Bu da x \ge 1 anlamına gelir.

2. Koşul: 3^{x+1} + 12 > 5

Bu eşitsizlik şöyle sadeleştirilir:

3^{x+1} > 5 - 12
3^{x+1} > -7

Pozitif bir üs alma işlemi sonuçta daima pozitif bir sayı verir. 3^{x+1} ister x pozitif olsun, ister negatif, sonuç sıfırdan büyük olacaktır. Dolayısıyla 3^{x+1} > -7 eşitsizliği her zaman sağlanır. Bu koşul herhangi bir sınırlama getirmez.

3. Koşul: 5 + 12 > 3^{x+1}

Bu eşitsizlik:

17 > 3^{x+1}

$3^{x+1}$’in 17’den küçük olması gerekir. Şimdi yine küçük üsleri deneyelim:

  • 3^{2} = 9 < 17 (uygun)
  • 3^{3} = 27 > 17 (bu sağlanmaz)

Dolayısıyla 3^{x+1}, 9 gibi bir değeri geçmemeli, yoksa 17’den büyük olur ve üçgen eşitsizliği bozulur. Bu da 3^{x+1} \le 9 anlamındadır. 3^{2}=9 olduğuna göre en büyük üs değeri (x+1)=2 olur. Bu da x=1 demektir.

4. Adım: Bütün Koşulları Sentezleme

  • Birinci koşul (3^{x+1} + 5 > 12) bize x \ge 1 demişti.
  • İkinci koşul her x değeri için zaten otomatik sağlanıyor.
  • Üçüncü koşul (5 + 12 > 3^{x+1}) bize x+1 < 3 \implies x < 2 demişti.

Bu iki kritik aralığı birleştirirsek:

x \ge 1 \quad \text{ve} \quad x < 2

Tam sayı olarak bakıldığında, x bu aralıkta yalnızca 1 değerini alabilir.

Dolayısıyla $x$’in alabileceği en küçük (ve aslında tek) tam sayı değeri 1’dir.

Böylece x=1 halinde kenarlar 3^{1+1} = 9, 5 ve 12 olup üçgen eşitsizliği sağlanır:

  • 9 + 5 = 14 > 12
  • 9 + 12 = 21 > 5
  • 5 + 12 = 17 > 9

Konunun Teorik Arka Planı ve Detaylı Açıklamalar

Bu iki problem, Üçgen Eşitsizliği’nin lise düzeyinde en sık karşımıza çıkan uygulamalarından bazılarını içerir:

  • Basit Üçgen Eşitsizliği: Bir üç kenar uzunluğu verilmişken üçüncü kenarın hangi aralıklarda olması gerektiği.
  • Üsler (Üs Alma) ile Üçgen Eşitsizliği: Kenarlardan biri üslü ifade olarak verilmiş. Bu durumda hem üslü algoritmalar (3’ün kuvvetleri) hem de üçgen eşitsizliğinin eşitsel sınırları bir arada değerlendirilir.

Üçgen Eşitsizliğini Hatırlamanın Kolay Yolu

Herhangi bir üçgende, “herhangi iki kenarın toplamı daima üçüncü kenardan büyüktür” şeklinde bir hafıza kuralı geliştirebilirsiniz. Hangi kenarlara bakarsanız bakın, toplanan iki kenar değeri üçüncü kenarı aşmıyorsa söz konusu kenarlarla bir üçgen oluşturmak olanaksız hale gelir.

Lise Düzeyinde Geometrik Önem

  • Üçgenler lisede hem geometrinin merkezinde yer alır, hem de trigonometri, vektörler ve çember geometrisi gibi konulara temel oluşturur.
  • Kenar Uzunlukları Problemleri, genellikle hem cebir hesabını güçlendirmek hem de geometrik düşünme becerilerini (ölçü, tahmin, mantık…) pekiştirmek amacıyla verilir.
  • Özellikle kenarların tam sayı değerleri sorgulanan bu tip sorular, öğrencinin eşitsizlik kavramına hızlı ve pratik bir bakış açısı geliştirmesine yardımcı olur.

Daha İyi Anlamak İçin Örnekler

Aşağıda üçgen eşitsizliğine ilişkin kısa örnekler verilmiştir:

  1. Örnek: Kenarları 2, 7 ve 10 verildiğinde bir üçgen oluşur mu?

    • 2 + 7 = 9 (bu, 10’dan küçüktür; 9 > 10 değildir)
    • Dolayısıyla 2,7,10 kenarlarıyla üçgen oluşamaz.

  2. Örnek: Kenarları 6, 7 ve 10 verildiğinde bir üçgen oluşur mu?

    • 6 + 7 = 13 > 10
    • 7 + 10 = 17 > 6
    • 6 + 10 = 16 > 7
    • Evet, tüm koşullar sağlanır. Üçgen mümkündür.

Bu basit örneklerle, ilk soruya benzer mantığı hızla bağdaştırabilirsiniz.

İki Soruya İlişkin Özet Bir Tablo

Aşağıdaki tabloda, iki farklı soru bakımından üçgen eşitsizliği koşulları ile elde edilen sonuçlar özetlenmiştir.

Soru Kenarlar Üçgen Eşitsizliği Koşulları Çözüm Sonucu
Soru 1: 5, 9, x 5, 9, x 1) 5+9>x → x<14
2) 5+x>9 → x>4
3) 9+x>5 → x>-4 (zaten sağlanır)		 4 < x < 14 → x ∈ {5,6,7,8,9,10,11,12,13}
Soru 2: 3^(x+1), 5, 12 3^(x+1), 5, 12 1) 3^(x+1)+5>12 → 3^(x+1)>7
2) 3^(x+1)+12>5 → 3^(x+1)>-7 (her zaman geçerli)
3) 5+12>3^(x+1) → 17>3^(x+1)		 Tümünün sağlanması: 3^(x+1)>7 ve 3^(x+1)<17
x=1 değeri bu aralıkta uygundur

Tablodaki Soru 1 satırında, x değerleri tam sayı olduğundan 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 alınmıştır. Bu dokuz değerin her birinde üçlü (5, 9, x) bir üçgen oluşturabilir.

Tablodaki Soru 2 satırında ise 3^{x+1} ifadesinin 7’den büyük ve 17’den küçük olması gerektiği ortaya çıkmıştır. 3^{2}=9 bu aralığa uyar, 3^{3}=27 bu aralığı aşar. Bu sebeple, $x+1=2 → x=1 en küçük tam sayı olarak çözümde geçerli olur.

Adım Adım Çözüm Süreci (Özet)

  1. Sorunun Tanımı

    • Birinci soruda, 5 ve 9 uzunluklarının yanına eklenecek x uzunluğunun hangi tam sayılar olabileceği istenir.
    • İkinci soruda, 3^{x+1}, 5, 12 kenarlarına ait üçgende, $x$’in en küçük tam sayı değeri sorulur.

  2. Üçgen Eşitsizliği Uygulanması

    • Her bir problemde “iki kenarın toplamı, üçüncü kenardan büyük olmalıdır” kuralı üç farklı şekilde kontrol edilir.

  3. Eşitsizliklerin Birleştirilmesi

    • Elde edilen koşullar bir aralık veya belirli bir değer kümesi (integer set) olarak karşımıza çıkar.

  4. Tam Sayı Olma Koşulu

    • Birinci soruda 5 < x < 14 aralığında olup tam sayı olan değerler listelenir.
    • İkinci soruda 3^{x+1} belirli sınırların (7 ve 17 arasının) içine düşmelidir; bu da $x=1$’i sağlar.

  5. Sonuç

    • Soru 1: x \in \{5,6,7,8,9,10,11,12,13\}
    • Soru 2: x_\text{min} = 1

Konu İle İlgili Ek Bilgiler ve İpuçları

  • Pratik Hatırlama: Üçgen eşitsizliği, daily hayatta da “Herhangi bir kenar, diğer iki kenarın toplamından uzun olamaz,” şeklinde yorumlanabilir.
  • Negatif Değerler: Bir kenarın negatif veya sıfır olmaması gerektiği, üçgenin fiziksel olarak tanımlanabilmesi için önemli bir koşuldur.
  • Eşitliğin Olduğu Durum: Teorik olarak a + b = c olsaydı üçgen degil, doğrusal bir şekil (doğruda yatan üç nokta) oluşurdu.
  • Üs Alarak Değişen Kenar: Öğrenciler bazen 3^{x+1} gibi ifadelerde $x$’i negatif, sıfır ya da pozitif seçince bazı kenarların çok küçük (1 gibi) veya çok büyük (27, 81 gibi) değerlere dönüştüğünü gözden kaçırabilirler. Bu sorularda önce alt ve üst sınırlar dikkatlice bulunmalıdır.
  • Geometrik Yorum: Bir kenar çok büyük olursa diğer iki kenarın toplamını geçer ve üçgen oluşamaz. Bir kenar çok küçük kalırsa yine diğer eşitsizliklerde sorun yaşanabilir.

Daha Geniş Bir Perspektifte Özet

  1. Soru 1’in Özeti

    • Koşullar: x < 14 ve x > 4.
    • Tam sayılar: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.

  2. Soru 2’nin Özeti

    • Koşullar: 3^{x+1} > 7 ve 3^{x+1} < 17.
    • Üs değerleri: 3^{1} = 3, 3^{2}=9, 3^{3}=27.
    • 3^{2} = 9 hem 7’den büyük hem de 17’den küçük, bu da x+1=2 \implies x=1 demektir.
    • x=0 ya da x=-1 gibi daha küçük değerler 7 eşik değerini geçemediği için uygun olmaz. x=2 gibi değerler ise 27 gibi çok büyük sayılar üretir.

Bir başka deyişle, problem sizi sadece üçgen kuralından ziyade, üslü ifadelerin hangi aralıkta kaldığını da test etmeye yönlendirir.

Vurgulanması Gereken Noktalar

  • Sorular tekrar incelendiğinde, Soru 1 tamamen temel üçgen eşitsizliği alıştırmasını hedefler.
  • Soru 2 ise öğrencinin hem eşitsizlik hem de üsleri nasıl kullanacağını ölçer. Üçgenin oluşumu için 3^{x+1} ifadesinin hem belli bir eşiği aşması (7’den büyük) hem de belli bir eşiği aşmaması (17’den küçük) gerekir.

Kapsayıcı Bir Sonuç

Soru 1:

  • Önemli eşitsizlikler: x < 14 ve x > 4.
  • Çözüm: x \in \{5,6,7,8,9,10,11,12,13\}.

Soru 2:

  • Önemli eşitsizlik: 7 < 3^{x+1} < 17.
  • Çözüm: x = 1 (en küçük tam sayı).

Uzunluk olarak 5,9,x veya 3^{x+1},5,12 üçlüsünü gördüğümüzde, üçgen oluşumu şu an çok daha net anlaşılabilir hale gelir. Böylece lisede sıkça karşılaşabileceğiniz bu tip soruların temel dayanak noktası, iki kenarın toplamının üçüncü kenardan büyük olması kavramıdır.

Sonuç Tablosu

Aşağıda her iki sorunun da nihai sonuçlarını tek tablo halinde özetliyoruz:

Soru Kenarlar İstenen Koşullar (Üçgen Eşitsizliği) Sonuç
1) 5, 9 ve x 5, 9, x x’in alabileceği tam sayı değerleri 1) 5+9>x → x<14
2) 5+x>9 → x>4
3) 9+x>5 → x>-4		 4<x<14 → x ∈ {5,6,7,8,9,10,11,12,13}
2) 3^(x+1), 5 ve 12 3^(x+1), 5, 12 x’in alabileceği en küçük tam sayı 1) 3^(x+1)+5>12 → 3^(x+1)>7
2) 3^(x+1)+12>5 (her zaman geçerli)
3) 5+12>3^(x+1) → 17>3^(x+1)		 x=1

Burada Soru 1’de görebileceğiniz gibi 9 farklı tam sayı söz konusudur. Soru 2’de ise sadece bir tek tam sayı (x=1) üçgeni kurmak için uygundur.

Kısa Bir Özet

  • Üçgen Eşitsizliği: a + b > c, b + c > a, c + a > b.
  • Birinci Soru: 5, 9 ve x.
    • x için çözüldüğünde 4 < x < 14. Tam sayı olarak x \in \{5,6,7,8,9,10,11,12,13\}.
  • İkinci Soru: 3^{x+1}, 5, 12.
    • 3^{x+1} > 7 ve 3^{x+1} < 17 koşulları birleşince, 3^{x+1}=9 tek olası çözüm kalır. Bu da $3^{2} olduğu için x+1=2 \implies x=1.

Sonuç olarak, iki soruda da üçgen oluşturma koşullarını incelemek, hem cebirsel eşitsizlikleri hem de üslü ifadeleri detaylı şekilde kullanmayı gerektirir.

@busraa1