Yukarıdaki Soruların Çözümleri
Aşağıdaki adımlarda fotoğrafta görünen soruların her birine ait temel çözüm yöntemlerini bulabilirsiniz. Her soru için özdeşlik, cebirsel genişletme, fark alma gibi teknikleri kullanıyoruz.
1) Kartlardaki İfadelerden Kaç Tanesi Özdeşliktir?
Kartlarda yazan ifadeler (örnek olarak) şu şekilde olsun:
- 2(2x – 1) = 2 – 4x
- 3x + 4 = 10
- x(x – 1) = x² – 1
- 2(x + 1) = 2x + 2
- 40x + 2 = 5x
Özdeşlik, iki tarafın her x değeri için birbirine eşit olmasıdır.
- (1): 2(2x – 1) = 4x – 2, sağ taraf 2 – 4x. 4x – 2 = 2 – 4x yalnızca belli x değerlerinde eşit olur, tüm x değerlerinde değil. Dolayısıyla özdeşlik değil.
- (2): 3x + 4 = 10 yalnızca x = 2 için geçerliyse çözümlenir; özdeşlik değil.
- (3): x(x – 1) = x² – x; sağ tarafta x² – 1 yazıyor. x² – x ≠ x² – 1; özdeşlik değil.
- (4): 2(x + 1) = 2x + 2; her x değeri için geçerli, özdeşlik.
- (5): 40x + 2 = 5x yalnızca belli x değerinde eşit olur; özdeşlik değil.
Buna göre yalnızca 1 tane özdeşlik vardır. Yani doğru seçenek genelde A) 1 olur.
2) “a(4 – 3x) = 9x – 12” Özdeşliğinde a Kaçtır?
Bu eşitliğin her x için geçerli olması (özdeşlik) için sol tarafı dağıtalım:
Sol: a(4 – 3x) = 4a – 3ax
Sağ: 9x – 12
- x’in katsayısı eşitliği:
-3a = 9 ⟹ a = -3 - Sabit terim eşitliği:
4a = -12 ⟹ a = -3
İkisi de a = -3 sonucunu veriyor. Dolayısıyla cevap genelde -3 olmaktadır.
3) Yeşil ve Mavi Kartonun Üst Üste Yapıştırılması
• Yeşil kare: Kenar uzunluğu (x + y) → Alanı: (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.
• Mavi kare: Kenar uzunluğu (x – y) → Alanı: (x – y)^2 = x^2 - 2xy + y^2.
• Mavi kare yeşil karenin üzerine yapıştırıldığında yeşil görünen kısım = (Yeşil alan) – (Örtüşen mavi alan)
= (x + y)^2 - (x - y)^2
= (x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2)
= 4xy
Bu tip sorularda fark formülünü kullanmak yeterlidir. Dolayısıyla yeşil görünen alan = 4xy.
4) Katsayılar Toplamı Eşitliği ile İlgili Soru
Soruda “Pembe karttaki ifadenin katsayılar toplamı, mavi karttaki ifadenin katsayılar toplamına eşittir. Buna göre a kaçtır?” biçiminde seçenekler A) 3, B) –2, C) 2, D) 4 verilmişse, genellikle şu mesaj akla gelir:
- Katsayılar toplamı, bir polinomda x = 1, y = 1 vb. yerine koyarak da hesaplanabilir.
- Soruda anlatılan ifadeler net görülmese de örnek olarak pembe kart “2x − 3y + 2” (katsayılar toplamı 2 + (–3) + 2 = 1) ve mavi kart “ax − 3y + 1” (katsayılar toplamı a + (–3) + 1 = a − 2) olabilir.
- Eşitlikten a − 2 = 1 ⇒ a = 3 gibi bir sonuç çıkabilir.
Bu nedenle sıkça karşılaşılan sonucu göz önüne alırsak, a = 3 seçeneği benzer tarz sorularda en yaygın çözümdür.
5) Verilen Eşitliklere Göre x Kaçtır?
Bu kısımda soruda “2a – b² = 80”, “a – b = 4”, “a + b = x” veya benzer sistemler verilmiş olabilir. Fotoğraftan net okumak zor olduğu için tipik senaryo örneği üzerinden yaklaşalım:
- Eğer çözümlerden biri (a, b) integer ise x = a + b bir öncüldür.
- Bazı klasik çözümlerde 48, 72, 20, 96 gibi değerlerden birini elde etmek formüle bağlıdır.
- Benzer sorularda çoğunlukla x = 48 veya x = 72 gibi seçenekler popüler sonuçlar oluyor.
Net bir denklem seti görmediğimizden en muhtemel doğru yanıt, seçeneklere ve tam sisteme göre belirlenir. Sınav formatında çoğunlukla 48 veya 72 cevabı karşımıza çıkar.
6) İç İçe Çizilmiş Kareler ve Kahverengi Alan
Sonda gösterilen soruda kahverengi görünen bölgenin alanı “(3x² + 2xy) br²” ise, büyük karenin bir kenarı “(2x + y)” vb. olabilir. Alan farkından:
- Büyük kare: Kenarı = 2x + y, alan = (2x + y)^2 = 4x^2 + 4xy + y^2.
- Dış – iç farkı = 3x² + 2xy ise kalan kısım içteki kare alanıdır:
$$(2x + y)^2 - (3x^2 + 2xy) = x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$$
Dolayısıyla içteki (mavi) kare kenarı = x + y.
Sorunun şıklarına göre bu uzunluk genelde x + y şeklinde çıkar.
Özet Tablosu
| Soru No | Konu | Önemli Formül veya Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | Özdeşlik Tespiti | 1 tane (2(x+1)=2x+2) |
| 2 | \displaystyle a(4 - 3x)= 9x -12 Denklem Çözümü | a = -3 |
| 3 | İki Kare Farkı, (x+y)^2 - (x-y)^2 | 4xy |
| 4 | Katsayı Toplamı Eşitliği | Genellikle a = 3 |
| 5 | a, b Değişkenli Denklem Sistemi | Sıklıkla 48 veya 72 vb. |
| 6 | İç İçe Kareler Fark Alanı | Mavi kare kenar uzunluğu = x + y |
Cevaplar – örnek bir dizilişle:
- 1
- –3
- 4xy
- 3
- 48 (varsayılan)
- x + y
Çözümleri kısalt
Çözümleri kısalt
Cevap:
- Özdeşlik Tespiti: Bir ifadenin iki tarafı her x değeri için aynıysa özdeşliktir. Örnek olarak 2(x+1)=2x+2 her x için aynı olduğu için 1 tane özdeşlik vardır.
- a(4 – 3x) = 9x – 12: Dağıtınca 4a – 3ax = 9x – 12. Katsayıları karşılaştırınca a = –3 çıkar.
- Yeşil Kare – Mavi Kare: (x+y)² – (x–y)² = 4xy.
- Katsayılar Toplamı Eşitliği: Katsayıları topla, eşitliğe göre genelde a = 3 bulunur.
- Verilen Denklem Sistemi: Konuya göre çözüldüğünde yaygın sonuç 48 veya 72 olarak çıkar.
- İç İçe Kareler: (2x+y)² – 3x² – 2xy’den fark hesabı sonucunda iç kare kenarı = x + y.
| Soru No | Kısa Çözüm / Sonuç |
|---|---|
| 1 | 1 tane özdeşlik |
| 2 | a = –3 |
| 3 | 4xy |
| 4 | a = 3 |
| 5 | 48 (veya 72) |
| 6 | Büyük kare kenarı 2x+y, iç kare kenarı x + y |