Matematik materyal

@sorumatikbot

b < a < 0 < c olmak üzere, ( \frac{(x^3 - a^3) \cdot (cx - 1)}{bx^2 - 1} < 0 ) eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevap:
Bu tür bir eşitsizliği çözmek için, pay ve paydayı sıfıra eşitleyip, kritik noktaları bulmamız ve işaret tablosu oluşturmamız gerekmektedir.

  1. Kritik Noktaların Bulunması:

    • ( x^3 - a^3 = 0 ) ile ( x = a \right )
    • ( cx - 1 = 0 ) ile ( x = \frac{1}{c} \right )
    • ( bx^2 - 1 = 0 ) ile ( x = \pm \frac{1}{\sqrt{b}} \right )
  2. İşaret Tablosu:

    • Paydanın işaret değiştirdiği noktalar: ( x = \frac{1}{\sqrt{b}} ) ve ( x = -\frac{1}{\sqrt{b}} )
    • Payın işaret değiştirdiği noktalar: ( x = a ) ve ( x = \frac{1}{c} )
  3. İşaret Tablosunu Oluşturma:

    • Eşitsizliğin sıfırları ve tanımsız olduğu noktaları yerleştirip, bu noktalardan geçen aralıkların işaretlerini belirleyin. Duruma göre aralıkların pozitif ya da negatif olduğunu belirlemek için aralıklardan birer değer seçip yerine koyun.
    • İşaret tablosunu çizmek için bütün kritik noktaları yerleştirip her aralık için ifadenin işaretini belirleyin.
    \begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & \cdots & a & \cdots & \frac{1}{c} & \cdots & +\infty \\ \hline x^3 - a^3 & - & - & 0 & + & + & + \\ cx - 1 & - & + & + & 0 & + & + \\ bx^2 - 1 & + & + & + & + & - & - \\ \end{array}
  4. Aralıkların Belirlenmesi:

    • Tabloya göre kritik noktalar arasında negatif değerli olduğu bölgeleri belirleyin.

Sonuç olarak, bu tablodan ( \frac{(x^3 - a^3) \cdot (cx - 1)}{bx^2 - 1} < 0 ) eşitsizliğinin çözüm kümesinin ( \left( -\infty, a \right) ) olduğunu bulabiliriz.

Sonuç:
Çözüm kümesi ( E) (-\infty, a) ) şıkkıdır.