20. soru: A = {a, e, o, u}, B = {a, b, c, d, e} ve C kümeleri, E = {a, b, c, d, e, f, l, o, u} kümesinin iki alt kümesidir. (A \cap C = B \cap C) olduğuna göre, boştan farklı kaç farklı C kümesi yazılabilir?
Çözüm:
Adım 1: Kümelerin Kesimlerini İnceleyelim
- (A = {a, e, o, u})
- (B = {a, b, c, d, e})
- (E = {a, b, c, d, e, f, l, o, u})
- (A \cap C = B \cap C)
Adım 2: Kesişen Elemanları Belirleyelim
- (A \cap C = {a, e})
- (B \cap C = {a, e})
Bu durumda, (C) kümesine dahil edilmesi durumunda, (C) kümesinin (A) ve (B) kümeleriyle aynı kesişen elemanları olacaktır.
Adım 3: C Kümesinin Oluşumu
-
(C) kümesine (A), (B) ve (E) kümelerinden gelebilecek başka elemanlar, yani ( {f, l, o, u}) elementi olabilir. Ancak bu durumda kesim aynı kalmalıdır.
-
(C) elemanları: (a), (e), (o), (u) ve diğer elemanlar (f), (l) olabilir.
Hesaplama:
- (C) kümesinde (a) ve (e) olmak zorundadır.
- Aynı zamanda (C) kümesi, (o, u, b, c, d, f, l) gibi elemanları içerebilir.
- (E) kümesindeki geri kalan elemanlar ( {b, c, d, f, l} ) anlamlarına sahiptir.
Bunlar üzerinde her eleman için bağımsız olarak seçim yapabiliriz (örneğin: seçmek ya da seçmemek).
Öyleyse toplam alt küme sayısı:
- ({f, l}) gibi elementlerden kaç seçim yapılabileceğine bakmalıyız:
- ({f, l}) 2 element vardır ve tüm kombinasyonlarını düşünme yoluyla 2 üzeri 3 seçim yapma olasılığımız var.
- Bunun anlamı:
- (C) kümesi: (2^5 = 32)
Sonuç:
Boştan farklı olması gerektiği için toplam 1 çıkartın:
- Sonuç: (32-1 = 31)
Final Cevap:
31 farklı boştan farklı (C) kümesi yazılabilir.