Matematik Lgs 8. Sınıf

LGS
1

Yeni nesil kulaklık üreticisi olan bir firma bakteri yönünden tehlike arz eden kablosuz kulaklıkların kendi kendine temizlemesi için yeni bir teknoloji geliştirmiştir
Bir saatte kulaklık dolu sen bakterilerin %25’ini temizleyen teknolojiyi kullanan bu firmanın ürettiği kulaklığın içerisindeki bakteri sayısı 2²⁶ ise 13 saat sonra kulaklıklarda bulunan bakteri sayısı kaçtır?

2

Rumeysa_Cazkir’ın Sorduğu Soru:

Soru:

Yeni nesil kulaklık üreticisi olan bir firma bakteri yönünden tehlike arz eden kablosuz kulaklıkların kendi kendine temizlemesi için yeni bir teknoloji geliştirmiştir. Bir saatte bu kulaklık bakterilerin %25’ini temizliyor. Teknolojiyi kullanan bu firmanın ürettiği kulaklığın içerisindeki bakteri sayısı 2^{26} ise 13 saat sonra kulaklıklarda bulunan bakteri sayısı kaçtır?

Cevap:

  • Konuyu Anlatma:
    Bu senaryoda, kulaklığın içindeki bakteri sayısının zaman içinde nasıl azaldığını takip etmemiz gerekir. Bakteri sayısı, her saat sonunda kalan bakterilerin %25’ini temizleyen bir teknoloji sayesinde azalmaktadır. Bu, her saatte bakterilerin %25’ini yok eden ancak %75’ini bırakan bir süreçtir. İlk olarak, bakterilerin başlangıçtaki sayısını ve her saat sonunda ne kadarının kalacağını hesaplamamız gerekecek.

Adım 1: Başlangıç Değerinin Hesaplanması

  • Başlangıçtaki bakteri sayısı 2^{26} olarak verilmiştir.
  • Detaylı olarak bakteri sayısını hesaplayacak olursak:
    2^{26} = 67,108,864 bakteri.

Adım 2: Azalma Oranının Hesaplanması

  • Her saat sonunda yüzde kaç bakteri kaldığını bulmak gerekir. Bakterilerin %25’i temizlendiğine göre %75’i kalır.
  • Bu da her saat sonunda kalan bakteri sayısının 0.75 ile çarpılması gerektiği anlamına gelir.

Adım 3: Zaman İçindeki Azalma Sürecinin Hesaplanması

  • İlk durumda elimizde 2^{26} bakteri var. Her saatte bu sayı %75 azalıyor.

  • 13 saat sonra kalan bakteri sayısını bulmak için hesaplama yapmamız gerekir:

    \text{Kalan bakteri sayısı} = 67,108,864 \times (0.75)^{13}

Adım 4: Hesaplamaların Gerçekleştirilmesi

  • 67,108,864'ü her bir saat için 13 kere 0.75 ile çarpacağız ve sonuçta elde edilen değeri hesaplayacağız.

Final Çözüm:

Kalan bakteri sayısını hesapladığımızda:

\text{Kalan bakteri sayısı} \approx 67,108,864 \times 0.04843
  • 13 saat sonunda kulaklıkta yaklaşık 3,248,588 bakteri kalacaktır.

Sonuç:

13 saat sonra kulaklıklarda bulunan bakteri sayısı yaklaşık olarak 3,248,588’dir.

3

Üslü ifadeler ile yapar mısın

4

Rumeysa_Cazkir’ın Sorduğu Soru:

Soru:

Yeni nesil kulaklık üreticisi olan bir firma bakteri yönünden tehlike arz eden kablosuz kulaklıkların kendi kendine temizlemesi için yeni bir teknoloji geliştirmiştir. Bir saatte bu kulaklık bakterilerin %25’ini temizliyor. Teknolojiyi kullanan bu firmanın ürettiği kulaklığın içerisindeki bakteri sayısı 2^{26} ise 13 saat sonra kulaklıklarda bulunan bakteri sayısı kaçtır?

Cevap:

  • Konuyu Anlatma:
    Kulaklıkta bulunan bakteri sayısı zamanla %25 oranında azalmaktadır. Bu demektir ki her saat sonunda bakterilerin %75’i kalır. Bu azalmayı üslü ifadeler ile göstererek çözümleyeceğiz.

Adım 1: Başlangıç Değerinin Üslü Olarak İfade Edilmesi

  • Başlangıçtaki bakteri sayısı 2^{26} olarak verilmiştir.

Adım 2: Azalma Oranının Üslü Olarak İfade Edilmesi

  • Her saat sonunda, bakterilerin kalan oranı %75’tir, yani 0.75 veya \frac{3}{4}.
  • Bakteri sayısı her saat \left(\frac{3}{4}\right) oranında azalır.

Adım 3: Zaman İçindeki Azalmanın Üslü İfade ile Hesaplanması

  • 13 saat sonra kalan bakteri sayısını üslü ifadelerle hesaplayacak olursak:

    \text{Kalan bakteri sayısı} = 2^{26} \times \left(\frac{3}{4}\right)^{13}

  • Üstel ifade çözümlemesiyle bu değeri hesaplayalım:

    2^{26} \times 0.75^{13}

Adım 4: Üslü İfade İle Sonuçların Hesaplanması

  • 0.75 ifadesini hesaplamak için şöyle bir yakın hesaplama yapabiliriz:
    \left(0.75\right)^{13} = \left(\frac{3}{4}\right)^{13} yaklaşık olarak \approx 0.0367'dir.

Final Çözüm:

  • Bu durumda, toplam bakteri sayısını bulmak için:

    2^{26} \times 0.0367

  • Olağandışı işlemeyi basit hale getirmek için:

    • 2^{26} = 67,108,864
    • 67,108,864 \times 0.0367 \approx 2,461,380

Sonuç:

13 saat sonra kulaklıklarda kalan bakteri sayısı yaklaşık olarak 2,461,380 olacaktır.