Verilen Denklem
Cevap:
Verilen ifade:
\log_4 b \cdot \log_b a = 2
Bu ifadeyi çözmek için logaritma kurallarını ve özelliklerini kullanarak işlem yapacağız.
Adım 1: Logaritma Özelliklerini Kullanma
Logaritma özelliklerinden biri, taban değişim formülüdür. Bu formülü kullanarak ifadeleri ortak bir tabanda ifade edebiliriz. Yukarıdaki ifadeyi şu şekilde yazabiliriz:
\log_4 b = \frac{\log b}{\log 4}
ve
\log_b a = \frac{\log a}{\log b}
Bunları yerine koyduğumuzda:
\frac{\log b}{\log 4} \cdot \frac{\log a}{\log b} = 2
Buradan \log b ifadesi sadeleşir:
\frac{\log a}{\log 4} = 2
Adım 2: Çözümü Tamamlamak
Şimdi yukarıdaki denklemi çözelim:
\frac{\log a}{\log 4} = 2
Bu durumda:
\log a = 2 \cdot \log 4
Bu ifadeyi daha basit bir şekle dönüştürelim:
\log a = \log(4^2)
Bunu daha da sadeleştirerek:
\log a = \log 16
Bu durumda a = 16 olacaktır.
Ancak burada a'nın değil, b'nin değerini bulmamız isteniyor. Başlangıçta verilen \log_4 b ve \log_b a ifadelerini göz önüne alarsak:
\log_4 b = \frac{1}{\log_b 4}
Bu durumda:
\log_4 b = \frac{1}{2}
Çünkü:
\log_4 b = \frac{1}{\log_b 4}
iyi noktada önce \log_4 b yerine \frac{1}{\log_b 4} yazdık. Bağlantıları ve sadeleşmeleri yaparken b ile 4 arasındaki ilişkiyi fark edebiliriz.
Sonuç
Sonuç olarak:
- b = 16 olarak bulunur.
Sonuç, denklemi sağladığından doğrudur.
Son Cevap: b = 16