4^b = 27 ve 3^a = 8 olduğuna göre, a · b çarpımı kaçtır?
Cevap:
Bu tür bir problemi çözmek için logaritma kullanarak üsleri elde edebiliriz.
Çözüm Adımları:
-
Verilen Denklemleri Logaritma ile Çözmek:
İlk olarak, her bir denklemin her iki tarafının logaritmasını alırız. Burada doğal logaritma (ln) kullanıyoruz.
-
( 4^b = 27 ) denklemi için:
b \cdot \ln(4) = \ln(27)Buradan b’yi bulmak için:
b = \frac{\ln(27)}{\ln(4)} -
( 3^a = 8 ) denklemi için:
a \cdot \ln(3) = \ln(8)Buradan a’yı bulmak için:
a = \frac{\ln(8)}{\ln(3)}
-
-
a · b Çarpımını Hesaplamak:
Şimdi a ve b’yi çarpalım.
a \cdot b = \left(\frac{\ln(8)}{\ln(3)}\right) \cdot \left(\frac{\ln(27)}{\ln(4)}\right)\ln(27) = \ln(3^3) = 3\ln(3) ve \ln(8) = \ln(2^3) = 3\ln(2), bu değerleri yerine koyarsak:
a \cdot b = \frac{3\ln(2) \cdot 3\ln(3)}{\ln(3) \cdot 2\ln(2)}Sadeleştirdiğimizde:
a \cdot b = \frac{9}{2} = 4.5
Bu durumda ( a \cdot b ) çarpımı (\boxed{4.5}) olur.