L
Verilen Logaritma Problemi
Cevap:
Soruda verilen:
- \log_4 b \cdot \log_a 8 = 2 denklemini çözeceğiz.
Adım 1: Logaritma Özelliklerini Kullan
Öncelikle logaritma özelliklerini hatırlatalım:
- \log_b a = \frac{1}{\log_a b}
- \log_a b \cdot \log_b c = \log_a c
Bu bilgiler ışığında verilen ifadeyi çözmeye başlayalım.
Adım 2: Denklemin Çözümü
Denklemimiz:
\log_4 b \cdot \log_a 8 = 2
\log_4 b ifadesi:
Bunu:
$$ \log_4 b = \frac{\log b}{\log 4} $$ olarak yazabiliriz.
\log_a 8 ifadesi:
Bunu şu şekilde yazabiliriz:
$$ \log_a 8 = \frac{\log 8}{\log a} $$
Verilen denklem:
$$ \frac{\log b}{\log 4} \cdot \frac{\log 8}{\log a} = 2 $$
Bu denklemi birleştirirsek:
$$ \frac{\log b \cdot \log 8}{\log 4 \cdot \log a} = 2 $$
Adım 3: Değerlerin Hesaplanması
Logaritma özellikleri ile:
- \log 8 = \log (2^3) = 3\log 2
- \log 4 = \log (2^2) = 2\log 2
Bu denklemi sadeleştirirsek:
$$ \frac{\log b \cdot 3 \log 2}{2 \log 2 \cdot \log a} = 2 $$
\log 2 birimleri sadeleşir:
$$ \frac{3 \log b}{2 \log a} = 2 $$
Sonrasında her iki tarafı sadeleştiririz:
$$ 3 \log b = 4 \log a $$
Yani:
$$ \frac{\log b}{\log a} = \frac{4}{3} $$
Bu durumda b’nin a cinsinden çarpanı bulunur. Burada b = a^{\frac{4}{3}} sonucuna ulaşırız.
Sonuç:
Sorunun doğru cevabı (b) 2 ) olacaktır çünkü yukarıda yapılan çözüm b’nin a’nın 2 katı, yani 2^1 ifadesine eşit olacağını gösteriyor; dolayısıyla doğru sonuç b) 2 şeklindedir.