Pozitif gerçel katsayılı bir ikinci derece denklemin bütün katsayıları 2 katına çıkarsa, bu denklemin diskriminantı kaç katına çıkar?
Bu soruyu çözebilmek için, bir ikinci derece denklemin ve diskriminantın nasıl çalıştığını anlamamız gerekiyor. İkinci derece bir denklemin genel formu ax^2 + bx + c = 0 şeklinde verilir. Bu tür bir denklemin diskriminantı (∆), b^2 - 4ac şeklinde tanımlanır.
Şimdi, soruda verilen bilgi ile hareket edelim: Denklemin bütün katsayıları 2 katına çıkıyor. Yani, denklemi a', b', c' şeklinde yeni katsayılarla ifade edecek olursak:
- a' = 2a
- b' = 2b
- c' = 2c
Yeni denklemin diskriminantını bulduğumuzda, b'^2 - 4a'c' formülünü kullanırız:
[
\Delta’ = (2b)^2 - 4(2a)(2c)
]
Bu ifade şu şekilde açılır:
[
\Delta’ = 4b^2 - 16ac
]
Bu durumda yeni diskriminant \Delta' ile eski diskriminant \Delta arasındaki ilişkiyi bulmamız gerekiyor. Eski diskriminant, \Delta = b^2 - 4ac idi. Yeni diskriminantı sadeleştirirsek:
[
\Delta’ = 4(b^2 - 4ac) = 4\Delta
]
Bu nedenle, yeni diskriminant, orijinal diskriminantın 4 katı olur. Cevap C şıkkı: 4.