Sorunun Çözümü: ( |HD| = x ) Değerinin Hesaplanması
Soruda ABC üçgeni verilmiş ve dik üçgen ilişkileri kullanılacaktır. Verilen bilgiler şu şekildedir:
- ( |HC| = 6\sqrt{2} )
- ( |BH| = 3\sqrt{2} )
- ( [AB] \perp [BD] ) ve ( [AD] \perp [BC] )
Hedef: ( |HD| = x )'in hesaplanması.
Çözüm Aşamaları:
1. Pisagor Teoremi ve Dik Üçgen Özellikleri
Dik üçgenlerden faydalanarak uzunlukları hesaplamak için aşağıdaki adımları dikkate alırız:
- [ABC] üçgenine ait yükseklik projeksiyon bağıntısı:
Bu bağıntı, bir üçgenin yükseklik noktalarının çarpımını kullanır: - Bir dik üçgende, yüksekliklerin ve ilgili kenar parçalarının çarpımı şu ilişkiye sahiptir:
[
Bana yaparmısın soruyu
Tabii ki! Soruyu detaylı bir şekilde çözmeye başlayalım:
Sorunun Verilenleri:
- ( HC = 6\sqrt{2} )
- ( BH = 3\sqrt{2} )
- ( AB \perp BD ) ve ( AD \perp BC )
- Hedef: (|HD| = x)’in bulunması.
Çözüm:
Soruda verilen geometrik şekil dik üçgenlerin birleşiminden oluşmakta. Verilen diklikler ve Pisagor Teoremi yardımıyla çözümü bulacağız.
1. Dik Üçgen Özellikleri ve Hedef Formülasyonu:
ABC üçgeninde belirtilen diklikler şuna işaret eder:
- ( AB \perp BD ) ve ( AD \perp BC ), yani iki farklı dik üçgen vurgulanmış.
Hedefimiz, ( |HD| )’yi bulmak. ( |HD| ), ( HC )’nin ve ( BH )’nin birleşiminden kaynaklanan dik üçgenler ilişkisinde yer alır.
2. HC, BH ve HD’nin Geometrik İlişkisi:
Bir üçgende diklik noktasıyla ilgili noktalar şu şekilde hesaplanabilir:
- Dik üçgen içindeki yükseklik bağıntısı:
HD^2 = HC^2 - BH^2
Bu bağıntıyı kullanacağız.
3. Verileri Pisagor Teoremine Uygulamak:
- ( HC = 6\sqrt{2} ), ( BH = 3\sqrt{2} )
- Şimdi ( |HD| = x) için, yukarıdaki bağıntıya yerleştirerek devam edelim:
x^2 = HC^2 - BH^2
-
( HC^2 = (6\sqrt{2})^2 ) ve ( BH^2 = (3\sqrt{2})^2 )’yi hesaplayalım:
- ( HC^2 = 6^2 \cdot 2 = 36 \cdot 2 = 72 )
- ( BH^2 = 3^2 \cdot 2 = 9 \cdot 2 = 18 )
-
Şimdi ( x^2 = HC^2 - BH^2 ) formülünü yerine koyalım:
x^2 = 72 - 18
x^2 = 54
- ( x )’i bulmak için karekök alalım:
x = \sqrt{54}
( 54 )’ü asal çarpanlarına ayırarak sadeleştirelim:
x = \sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{6} = 3\sqrt{6}
Sonuç:
( |HD| = 3 ) cm bulunmuştur. Doğru cevap C) şıkkıdır.
| Verilen | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| ( HC ) ve ( BH ) | ( HC^2 - BH^2 ) | ( x = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} ) |
Eğer başka soruların varsa, çekinmeden sorabilirsin! 
@username
Sorunun Çözümü: ( x ) Değerinin Hesaplanması
Soruda, ABC üçgeni verilmiş ve yükseklik ayrıntılarıyla bir matematiksel denklem kurularak ( x )’in bulunması istiyoruz. Şimdi adım adım çözümü gerçekleştirelim.
Veriler
- ( AH = x+2 )
- ( BH = x )
- ( HC = x+5 )
- [AH] (\perp) [BC] (diklik verilmiş).
Hedefimiz, ( x ) değerini bulmaktır.
Çözüm Aşamaları:
1. Dik Üçgende Alan Metodu
Bir dik üçgende yükseklik ilişkilerini kullanarak çözüm yapabiliriz. Bir üçgenin alanı, iki farklı şekilde hesaplanabilir:
a) Alan formülü:
Üçgenin alanını yüksekliklerle ifade edelim:
\text{Alan} = \frac{1}{2} \cdot [BC] \cdot [AH] \quad \text{veya} \quad \text{Alan} = \frac{1}{2} \cdot [BH] \cdot [HC]
Bu iki alan denkleminden faydalanarak ( x ) için bir denklem kuracağız.
2. Üçgenin Alan Hesabı:
Alan eşitliği kullanarak devam edelim:
-
- Denklem: (\frac{1}{2} \cdot [BC] \cdot [AH])
- ( [BC] = BH + HC ) olduğundan:
BC = x + (x+5) = 2x + 5Alan bu durumda:
\text{Alan} = \frac{1}{2} \cdot (2x+5) \cdot (x+2) -
- Denklem: (\frac{1}{2} \cdot [BH] \cdot [HC])
Alan aynı zamanda:
\text{Alan} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x+5) - Denklem: (\frac{1}{2} \cdot [BH] \cdot [HC])
3. Alanlar Arası Eşitlik Kurulması:
Şimdi iki alan ifadesini eşitleyelim:
\frac{1}{2} \cdot (2x+5) \cdot (x+2) = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x+5)
Her iki taraftaki (\frac{1}{2}) sadeleşir:
(2x+5) \cdot (x+2) = x \cdot (x+5)
4. Denklem Çözümü:
Parantezleri açarak bir denklem oluşturalım:
Sol taraf:
(2x+5) \cdot (x+2) = 2x^2 + 4x + 5x + 10 = 2x^2 + 9x + 10
Sağ taraf:
x \cdot (x+5) = x^2 + 5x
Şimdi denklemi eşitleriz:
2x^2 + 9x + 10 = x^2 + 5x
Her iki taraftaki ( x^2 )’leri sadeleştirelim:
x^2 + 9x + 10 = 5x
Sadeleştirelim:
x^2 + 4x + 10 = 0
5
Ama bu öklid teoremi o yüzden doğru yap bidaha
Haklısınız, bu soruyu Öklid Teoremi ile çözmek gereklidir. Yanıtımı baştan doğru bir şekilde açıklıyorum. Teşekkürler hatırlatma için!
Sorunun Çözümü: Öklid Teoremi ile ( x )'in Değerini Bulma
Soruda verilen dik üçgende diklik ilişkileri incelenerek Öklid Teoremi kullanılacak.
Verilenler:
- ( AH = x+2 )
- ( BH = x )
- ( HC = x+5 )
- ( AH \perp BC ).
- Amaç: ( x )'in değerini bulmak.
Öklid Teoreminin Kullanımı:
Öklid Teoremine göre dik üçgende, yükseklik köşeye inmişse şu bağıntı geçerlidir:
AH^2 = BH \cdot HC
Bu durumu kullanarak doğru denklemi oluşturacağız.
1. Verileri Denklemde Yerleştirelim:
- ( AH = x + 2 ), ( BH = x ), ( HC = x + 5 ).
- Öklid Teoremine göre ( AH^2 = BH \cdot HC ):
(x+2)^2 = x \cdot (x+5)
2. Denklem Çözümü:
Bu denklemi adım adım çözelim:
Sol Taraf: ( AH^2 = (x+2)^2 )
(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4
Sağ Taraf: ( BH \cdot HC = x \cdot (x+5) )
x \cdot (x+5) = x^2 + 5x
Şimdi, iki tarafı eşitleyelim:
x^2 + 4x + 4 = x^2 + 5x
3. Sadeleştirme ve Denklemin Şekli:
Her iki taraftan ( x^2 )'leri çıkaralım:
4x + 4 = 5x
Şimdi ( 4x )'i diğer tarafa alalım:
4 = 5x - 4x
4 = x
4. Sonuç:
( x = 4 ) bulunur.
Doğrulama:
Bulduğumuz ( x = 4 )'ü verilen değerlere yerleştirerek doğruluğunu kontrol edelim:
- ( AH = x+2 = 4+2 = 6 ),
- ( BH = x = 4 ),
- ( HC = x+5 = 4+5 = 9 ).
Şimdi Öklid Teoremi denklemini kontrol edelim:
AH^2 = BH \cdot HC
6^2 = 4 \cdot 9
36 = 36
Evet, doğru!
Cevap:
Doğru cevap: C) 4
| Verilenler | Denklem | Bulunan Sonuç |
|---|---|---|
| ( AH ), ( BH ), ( HC ) | ( AH^2 = BH \cdot HC ) | ( x = 4 ) |
Eğer daha fazla sorunuz varsa, yardımcı olmaktan mutluluk duyarım! @Rahmalara
Bu iki soru Pisagor bağıntısı kullanılarak çözülecek sorular. Şimdi sırasıyla her iki sorunun çözümüne geçelim.
Soru 1: (|BC| = x)'in Hesabı
Veriler:
- (|AB| = \sqrt{21})
- (|AC| = 11)
- (|BC| = x)
- ( \triangle ABC ) bir dik üçgendir ve ([AB] \perp [BC]).
Pisagor bağıntısına göre:
\text{Hipotenüs}^2 = \text{Dik kenar 1}^2 + \text{Dik kenar 2}^2
Bu durumda, hipotenüs (|AC|), dik kenarlar ise (|AB|) ve (|BC| = x) olacaktır. O halde:
Denklem:
|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2
Yerine yazalım:
11^2 = (\sqrt{21})^2 + x^2
Hesaplayalım:
121 = 21 + x^2
Buradan:
x^2 = 121 - 21
x^2 = 100
x = \sqrt{100}
x = 10
Sonuç:
(|BC| = x = 10)
| Verilenler | Pisagor Bağıntısı | Sonuç |
|---|---|---|
| ( | AB | = \sqrt{21}), ( |
Soru 2: (|AB| = x)'in Hesabı
Veriler:
- (|BC| = 9)
- (|AC| = 3\sqrt{13})
- (|AB| = x)
- ( \triangle ABC ) bir dik üçgendir ve ([AB] \perp [BC]).
Pisagor bağıntısına göre yine:
\text{Hipotenüs}^2 = \text{Dik kenar 1}^2 + \text{Dik kenar 2}^2
Bu durumda, hipotenüs (|AC|), dik kenarlar ise (|AB| = x) ve (|BC|) olacaktır. O halde:
Denklem:
|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2
Yerine yazalım:
(3\sqrt{13})^2 = x^2 + 9^2
Hesaplayalım:
(3\sqrt{13})^2 = 9 \cdot 13 = 117
|BC|^2 = 9^2 = 81
Denklem:
117 = x^2 + 81
Buradan:
x^2 = 117 - 81
x^2 = 36
x = \sqrt{36}
x = 6
Sonuç:
(|AB| = x = 6)
| Verilenler | Pisagor Bağıntısı | Sonuç |
|---|---|---|
| ( | BC | = 9), ( |
Genel Cevaplar:
- Soru 1: (|BC| = 10)
- Soru 2: (|AB| = 6)
Eğer başka sorularınız varsa memnuniyetle yardım ederim! @Rahmalara
Bu soruyu, Pisagor Bağıntısı ve dik üçgen özelliklerini kullanarak çözeceğiz. Verilenleri dikkatle inceleyip, adım adım ilerleyelim.
Soru: (|BC| = x) kaç cm’dir?
Verilenler:
- (|CD| = 24)
- (|AD| = 20)
- (|AB| = 15)
- ([AB] \perp [CD])
- ([BC] \perp [CD])
Hedef: (|BC| = x)'i bulmak.
Çözüm:
Soruda verilen şekilde üçgeni parçalarına ayırıp, dik Üçgenlerde Pisagor Bağıntısını uygulayarak ilerleyeceğiz:
Adım 1: Pisagor Bağıntısını (\triangle ADC)'de Uygulayalım:
(\triangle ADC) bir dik üçgendir ve (|AD|) ile (|CD|) dik kenarlar, (|AC|) ise hipotenüstür. Yani:
|AC|^2 = |AD|^2 + |CD|^2
Yerine yazalım:
|AC|^2 = 20^2 + 24^2
Hesaplayalım:
|AC|^2 = 400 + 576
|AC|^2 = 976
|AC| = \sqrt{976}
|AC| = 4\sqrt{61}
Adım 2: Pisagor Bağıntısını (\triangle ABC)'de Uygulama:
Şimdi (\triangle ABC) dik üçgeninde (|AB|) ve (|AC|) biliniyor, (|BC| = x)'i bulmak için Pisagor Bağıntısını kuralım.
Pisagor bağıntısına göre:
|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2
Yerine yazalım:
(4\sqrt{61})^2 = 15^2 + x^2
Hesaplayalım:
- ( (4\sqrt{61})^2 = 16 \cdot 61 = 976 ),
- ( 15^2 = 225 ).
Denklem:
976 = 225 + x^2
Buradan:
x^2 = 976 - 225
x^2 = 751
x = \sqrt{751}
Bu durumda tam kare olmadığı için cevabı sade olarak bırakabilirsiniz:
x = \sqrt{751}
Sonuç:
(|BC| = x = \sqrt{751}).
| Adım | Kullanılan Dik Üçgen | Uygulanan Bağıntı | Bulunan Sonuç |
|---|---|---|---|
| 1. Adım | (\triangle ADC) | ( | AC |
| 2. Adım | (\triangle ABC) | ( | AC |
Bu çözümle (|BC|)'yi tam olarak bulduk. Sorularınız varsa yardımcı olmaktan mutluluk duyarım! @Rahmalara
Bu soruyu da yine Pisagor Bağıntısı ve dik üçgen özelliklerini kullanarak çözeceğiz. Adım adım çözümü buraya yazıyorum:
Soru:
(|AD| = x) kaç cm’dir?
Verilenler:
- (|AB| = 4 , \text{cm})
- (|BC| = 3 , \text{cm})
- (|CD| = \sqrt{11} , \text{cm})
- ([AC] \perp [CD]), yani (|AC|) ile (|CD|) arasında diklik var.
- ([AB] \perp [BC]), yani üçgenin hipotenüsü olan (|AC|) bulunabilir.
Hedef: (|AD| = x)'i bulmak.
Çözüm:
Soruyu çözmek için önce doğru parçalarını sırayla bulacağız ve ardından sonuca ulaşacağız.
Adım 1: Pisagor Bağıntısını (\triangle ABC)'de Uygulayalım:
(|AB|) ve (|BC|) dik kenarları, (|AC|) ise hipotenüsü temsil ediyor:
Pisagor Bağıntısı:
|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2
Yerine yazalım:
|AC|^2 = 4^2 + 3^2
Hesaplayalım:
|AC|^2 = 16 + 9
|AC|^2 = 25
|AC| = \sqrt{25}
|AC| = 5
Bu durumda (|AC| = 5 , \text{cm})'dir.
Adım 2: Pisagor Bağıntısını (\triangle ACD)'de Uygulayalım:
Şimdi (\triangle ACD)'de (|AD| = x)'i bulmak için Pisagor Bağıntısını kullanalım. Bu üçgende:
- (|AC| = 5,\text{cm}) (bulduk),
- (|CD| = \sqrt{11}),
- (|AD| = x) (bulunacak).
Pisagor Bağıntısı:
|AC|^2 = |AD|^2 + |CD|^2
Yerine yazalım:
5^2 = x^2 + (\sqrt{11})^2
Hesaplayalım:
25 = x^2 + 11
Denklemi çözerek:
x^2 = 25 - 11
x^2 = 14
x = \sqrt{14}
Sonuç:
(|AD| = x = \sqrt{14}).
| Adım | Kullanılan Dik Üçgen | Uygulanan Bağıntı | Bulunan Sonuç |
|---|---|---|---|
| 1. Adım | (\triangle ABC) | ( | AC |
| 2. Adım | (\triangle ACD) | ( | AC |
Bu durumda cevabımız tam kare sayı olmadığından:
\boxed{\sqrt{14} \, \text{cm}}
Başka sorularınız varsa sormaktan çekinmeyin! @Rahmalara
Ama o şıklarda yok kök dışına çıkar bide istersen
Haklısınız! Şimdi sonucu kök dışına çıkartarak sadeleştirelim ve şıklarda olup olmadığını kontrol edelim. Sorunun ikinci kısmını yeniden düzenliyorum.
Son Adım: (\sqrt{14})'ü Kök Dışına Çıkarma
Sayıyı kök dışına çıkartalım:
\sqrt{14} \, = \sqrt{2 \cdot 7}
14 iki asal çarpanın çarpımıdır ((2 \cdot 7)), ancak bunların ikisi de tam kare olmadığı için kök dışına tamamen çıkmaz. Yani (\sqrt{14})’ü daha fazla sadeleştiremeyiz. Bu durumda kök dışına çıkamadığı için olduğu gibi bırakılır ve doğru seçenek şıklarda “kök içinde” bırakılmalıdır.
Kontrol:
Sonuç (\sqrt{14}) olduğundan şıklarda belirtilmiş doğru cevap bulunmayabilir. Ancak bazen sorular şıklarda tam çözümü ifade ederken sade ifade içermeyebilir.
Eğer yardıma soru şıklarınızda tekrar açık bakabilirikken geri bildir yönleryim
Soru:
Yukarıdaki üçgende (x = |BC|) uzunluğu kaç cm’dir?
Veri ve Bilgiler:
- (|DC| = 6 , \text{cm})
- (|DA| = 12 , \text{cm})
- (|AB| = 15 , \text{cm})
- (|BC| = x) bulunacak.
- Verilen dik kenarlar arasında üçgen özelliklerini ve Pisagor bağıntısını sırasıyla kullanacağız.
Çözüm Adımları:
Adım 1: Dik Üçgen (\triangle ADC)'yi Kullanarak (|AC|)'yi Bulalım
(|DA|) ve (|DC|)'nin dik kenar olduğunu biliyoruz. (|AC|) hipotenüstür. Pisagor bağıntısını uyguluyoruz:
|AC|^2 = |DA|^2 + |DC|^2
Yerine yazalım:
|AC|^2 = 12^2 + 6^2
|AC|^2 = 144 + 36
|AC|^2 = 180
|AC| = \sqrt{180}
(\sqrt{180})'i sadeleştirelim:
|AC| = \sqrt{36 \cdot 5}
|AC| = 6\sqrt{5}
Bu durumda (|AC| = 6\sqrt{5} , \text{cm}).
Adım 2: Dik Üçgen (\triangle ABC)'de Pisagor Bağıntısını Kullanalım
Şimdi, (\triangle ABC)'de (|AB|) hipotenüs, (|AC|) ve (|BC|) ise dik kenarlardır. Pisagor bağıntısını kullanarak (x = |BC|) uzunluğunu bulacağız:
|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2
Yerine yazalım:
15^2 = (6\sqrt{5})^2 + x^2
Hesaplayalım:
225 = (6\sqrt{5})^2 + x^2
225 = 36 \cdot 5 + x^2
225 = 180 + x^2
Denklemi çözerek (x^2)'yi bulalım:
x^2 = 225 - 180
x^2 = 45
x = \sqrt{45}
(\sqrt{45})'i sadeleştirelim:
x = \sqrt{9 \cdot 5}
x = 3\sqrt{5}
Sonuç:
(|BC| = x = 3\sqrt{5} , \text{cm})**.
Şıklarda Tam Çözüm:
Bu değer, tam sayı olmadığı için (\sqrt{5})'in yaklaşık değerini alırsak:
- (\sqrt{5} \approx 2,236)
Hesaplayarak yaklaşık sonucu bulalım:
x = 3 \cdot 2,236 = 6,708 \, \text{cm.}
Bu yaklaşık hesaplamaya göre bazı şıklar tam doğru çözüm taletınızı lütfen ileti̇şiminnkrediyalayın
Soru:
Yukarıdaki verilere göre, ( |AE| ) kaç cm’dir?
Verilenler:
- ( |CD| = 5 , \text{cm} )
- ( |BC| = |DE| = 8 , \text{cm} )
- ( |AB| = 7 , \text{cm} )
- ([AB] \perp [BC]), ([BC] \perp [CD]) ve ([CD] \perp [DE]), yani tüm dik üçgenlerde Pisagor bağıntısını kullanacağız.
- İstenilen: (|AE|)'nin toplam uzunluğunu bulmamız gerekiyor.
Çözüm Adımları:
İlk hedefimiz, ( AE ) uzunluğunu üç dik üçgeni birleştirerek bulmaktır: ( |AE| = |AB| + |BE|. ) Bunun için önce ( |BE| ) uzunluğunu bulmamız gerekiyor.
Adım 1: (|BE| ) uzunluğunu bulalım
(|BE|), ( BCE ) dik üçgeninin hipotenüsüdür. Bu üçgende dik kenarlar ( |BC| ) ve ( |CE| )'dir. İlk önce (|CE|)'yi bulmamız gerekiyor.
Adım 2: (|CE|)'yi bulmak için (\triangle CDE)'de Pisagor Bağıntısını Kullanalım
(|CE|), dik üçgenin hipotenüsü, (|CD|) ve (|DE|) ise dik kenarlardır. Bu durumda:
|CE|^2 = |CD|^2 + |DE|^2
Yerine yazalım:
|CE|^2 = 5^2 + 8^2
|CE|^2 = 25 + 64
|CE|^2 = 89
|CE| = \sqrt{89}
Adım 3: (|BE|)'yi bulmak için (\triangle BCE)'de Pisagor Bağıntısını Kullanalım
Şimdi, ( \triangle BCE )'de hipotenüs olan (|BE|)'yi bulacağız. Hipotenüs bağıntısı şudur:
|BE|^2 = |BC|^2 + |CE|^2
Yerine yazalım:
|BE|^2 = 8^2 + (\sqrt{89})^2
|BE|^2 = 64 + 89
|BE|^2 = 153
|BE| = \sqrt{153}
(\sqrt{153})'i sadeleştirelim:
\sqrt{153} = \sqrt{9 \cdot 17}
\sqrt{153} = 3\sqrt{17}
Bu durumda ( |BE| = 3\sqrt{17} ) cm.
Adım 4: (|AE|)’yi bulalım
Artık ( |AE| )'nin toplam uzunluğunu bulabiliriz. Bu uzunluk, ( |AB| ) ve ( |BE| ) uzunluklarının toplamıdır:
|AE| = |AB| + |BE|
Yerine yazalım:
|AE| = 7 + 3\sqrt{17}
Sonuç tam sadeleşmediği için yukarıdaki şekilde bırakılır veya yaklaşık değerle hesaplanabilir.
Sonuç:
- Eğer şıklarda köklü ifade varsa: ( 7 + 3\sqrt{17} \ \text{cm} ) tam doğru cevaptır.
- Eğer yaklaşık bir sonuç istenirse, ( \sqrt{17} \approx 4,123 ) alınır. Buna göre:
|AE| \approx 7 + 3 \cdot 4,123
|AE| \approx 7 + 12,369
|AE| \approx 19,369 \, \text{cm.}
Yani ( |AE| \approx 19,37 , \text{cm} ).
Özet Tablosu:
| Üçgen | Dik Kenar 1 | Dik Kenar 2 | Hipotenüs |
|---|---|---|---|
| ( \triangle CDE ) | ( | CD | = 5) cm |
| ( \triangle BCE ) | ( | BC | = 8) cm |
| ( \triangle ABE ) | ( | AB | = 7) cm |
Doğru Cevap:
- ( 7 + 3\sqrt{17} \ \text{cm}) tam çözümdür.
- Yaklaşık olarak: ( 19,37 , \text{cm}).
Umarım açıklayıcı olmuştur! @Rahmalara