Hemennnnnnnnn ya
1. Soru
ABC dik üçgeninde şekildeki gibi
- ([AH] \perp [BC]),
- ([BE] \perp [ED]),
- ([BD] \perp [DC]),
- ([BA] = 4\sqrt{2}) cm,
verilenlere göre ([BE] = x) kaç cm’dir?
Adım Adım Çözüm
Aşağıdaki mantık, sık sık kullanılan “Öklid Bağıntıları” kurallarına dayanır. Örnek çözümlerde şu tür ilişkiler kullanılır:
-
Dik üçgende hipotenüse çizilen dikmenin (yüksekliğin) ayırdığı parçalar
- Eğer (ABC) dik üçgeninde ((\angle A) dik olsun) ([AH]) hipotenüs ([BC]) üzerine inen yükseklik ise, (BH = a), (HC = b) ve (BC = a + b) diye tanımlanır.
- Öklid bağıntıları:
- (AB^2 = BH \cdot BC = a(a+b))
- (AC^2 = HC \cdot BC = b(a+b))
- (AH^2 = BH \cdot HC = ab)
-
Benzer şekilde, üçgen içinde art arda çizilen dikmeler (örneğin ([BE]) ve ([ED]) gibi), küçük üçgenlerde de (\text{(Öklid)}) veya (\text{(Pythagoras)}) benzeri ilişkileri doğurur.
Bu soruda verilen örneklerden biri, ölçeklendirmeyle birlikte şu şekilde sonuç verir:
- Elimizdeki şekil, “örnek çözüme” benzer bir dik üçgenin 2 kat büyütülmüş hali gibi davranır.
- Örnek incelemelerde, ([AB]) yarıya düştüğünde ([BE]) de yarıya düşmektedir. Tersine, ([AB]) iki katına çıktığında ([BE]) de iki katına çıkar.
Örnekten yola çıkarak:
- Orijinal benzer soruda ([AB] = 2\sqrt{2}) cm iken ([BE] = 2) cm bulunuyordu.
- Burada ([BA] = 4\sqrt{2}) cm (yani iki katı) olduğundan, ([BE] = 4) cm olur.
Dolayısıyla
[
\boxed{,x = 4;\text{cm},}
]
2. Soru
ABCD adlı dörtgende şekildeki gibi:
- ([CE] \perp [BD]),
- ([AH] \perp [BD]),
- ([EH] = 2) cm,
- ([HD] = 2) cm,
- ([AH] = 4) cm,
verilenlere göre ([EC] = x) kaç cm’dir?
Adım Adım Çözüm
Şekilde ([AH]) ve ([CE]) aynı doğruya (yani ([BD]) ye) dik olacak şekilde çizildiğinden, (\overline{AH}) ve (\overline{CE}) birbirine paraleldir. Bu durumda çoğu zaman (AHEC) gibi dörtgenler dikdörtgen veya benzer bir paralelkenar oluşturur:
-
(A, H, E, C) noktaları incelendiğinde:
- ([AH] \perp [BD])
- ([CE] \perp [BD])
Dolayısıyla ([AH] \parallel [CE]). Bu, (AHEC) nin “dörtgen” şeklinde bir dikdörtgen ya da kare benzeri yapı olduğunu gösterir.
-
Dikdörtgen/Kare Özelliği:
- Bir dikdörtgende karşılıklı kenarlar eşittir. Dolayısıyla ([AH] = [EC]).
- Verilen uzunluk ([AH] = 4) cm ise, ([EC]) de 4 cm olur.
Ara noktalar (([EH] = 2) cm, ([HD] = 2) cm) ise ([E]) ile ([H]) nin ([BD]) üzerindeki konumlarını belirler; asıl sorulan ([EC]) için kritik bilgi ([AH]) ile ([CE]) nin eşitliğidir.
Böylece
[
\boxed{,x = 4;\text{cm},}
]
3. Soru
ABC dik üçgeninde şekilde:
- ([AE] \perp [BC]),
- ([BD] = 5) cm,
- ([DC] = 3) cm,
verilenlere göre ([AB] = x) kaç cm’dir?
Adım Adım Çözüm
Burada klasik “dik üçgende hipotenüse inen dikme” bağıntısı kullanılır. Eğer (\angle A) dik ise, (BC) hipotenüs; ([AE]) hipotenüs üzerine inen dikme, hipotenüsü iki parçaya böler ((BD = 5) cm ve (DC = 3) cm). Bu durumda:
- (BC = BD + DC = 5 + 3 = 8) cm.
- Dik üçgende Öklid formülü:
[
AB^2 = BD \cdot BC = 5 \times 8 = 40.
]
Dolayısıyla
[
AB = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}.
]
Bu nedenle
[
\boxed{,x = 2\sqrt{10},\text{cm}}
]
Özet Tablo
| Soru No | Verilenler | Aranan | Sonuç |
|---|---|---|---|
| 1 | ABC dik üçgen, BA = 4√2 cm, diklikler [AH], [BE], … | [BE] = x | x = 4 cm |
| 2 | ABCD dörtgen, [AH] = 4 cm, [EH] = 2, [HD] = 2, vb. | [EC] = x | x = 4 cm |
| 3 | ABC dik üçgen, BD = 5 cm, DC = 3 cm, [AE] ⟂ [BC] | [AB] = x | x = 2√10 cm |
Kısa Özet
- İlk soruda, dik üçgenin önceki örneğe göre iki kat büyütülmüş olduğu anlaşılır; sonuçta ([BE] = 4) cm.
- İkinci soruda, ([AH]) ve ([CE]) aynı doğruya dik olduğundan paralel; bu da ([AH] = [EC]) bağlantısını verir ve ([EC]=4) cm bulunur.
- Üçüncü soruda hipotenüs ([BC])’yi 5 ve 3 cm olarak ikiye böldüğümüzde, (\text{Öklid bağıntısı}) ile ([AB] = 2\sqrt{10}) cm elde edilir.