Yukarıdaki Verilere Göre |HD| = x Kaç cm’dir?
Sorunun Çözümü:
Soruda bir dik üçgen verilmiştir ve Öklid Teoremi kullanılarak çözüm yapılacaktır. Öklid Teoremi, bir dik üçgende yükseklik, dik kenarların ilgi alanlarıyla nasıl bağlantı kurduğunu ifade eder.
Verilenler:
- (|HC| = 6\sqrt{2} , \text{cm}),
- (|BH| = 3\sqrt{2} , \text{cm}),
- (|HD| = x , \text{cm}) olarak verilmiş ve x bulunmak isteniyor.
Öklid Teoreminin birkaç versiyonu vardır. Bu soruda yükseklik ve dik kenarlar arasındaki bağıntı kullanılacaktır:
Öklid Teoremi’nde Dik Üçgenin Özellikleri:
- ( [AB] \perp [BC] ): ABC üçgeninde temel diklikler verilmiştir.
- Dik üçgenin yüksekliğinin karesi, hipotenüsün dik kenarlara bölünen parçalarının çarpımına eşittir:h^2 = p \cdot qBurada:
- (h): Hipotenüse inen dik kenar uzunluğu (|AH|),
- (p): Hipotenüsün bir parçası (|HD| = x),
- (q): Hipotenüsün diğer parçası (|HC|).
Adım 1: Çözümde Öklid Teoremini Uygulayalım
Dik üçgende ( |AB| \perp |BC| ) verilmiş ve yüksekliğin karesi bağıntısını (Öklid Teoremi) uygulayacağız:
[
|BH|^2 = |HD| \cdot |HC|
]
- Verilenleri yerine yazalım:
[
(3\sqrt{2})^2 = x \cdot 6\sqrt{2}
]
Adım 2: Verileri Basitleştirelim
[
(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18
]
Eşitlik:
[
18 = x \cdot 6\sqrt{2}
]
Adım 3: x’i İzole Edelim
Her iki tarafı (6\sqrt{2})’ye bölelim:
[
x = \frac{18}{6\sqrt{2}}
]
Sadeleştirelim:
[
x = \frac{3}{\sqrt{2}}
]
Rasyonel bir ifade elde etmek için kökten kurtulalım (paydayı kökten arındıralım):
[
x = \frac{3\sqrt{2}}{2}
]
Sonuç:
[
x = \frac{3\sqrt{2}}{2} , \text{cm’ye karşılık gelir. Bu ifade seçeneklerde yer almaz. Herhalde bir resimde hata var.