Matematik 9. sınıf problem fonksiyonlar

YKS TYT
1

Katlar arası yükseklikleri eşit ve 2
5 m olan, giriş katının altında kat bulunmayan 6 katlı bir binanın katları doğal sayılarla (giriş katı 0. kat olmak üzere) numaralandırılmıştır. Binanın asansörü, sabit bir hızla
zemine dik olarak saniyede 2
1 m yol almaktadır.
Anıl, Berna ve Ebru’nun bu asansörü kullanımına ilişkin aşağıdaki bilgiler veriliyor.
• Giriş katında bulunan Anıl, asansöre binerek 3. kata çıkıyor.
• 6. katta bulunan Berna, asansöre binerek 3. kata iniyor.
• 3. katta bulunan Ebru, asansöre binerek giriş katına iniyor.
Anıl, Berna ve Ebru’nun asansörün hareket ettiği süre boyunca zamana (sn.) bağlı yerden yüksekliklerini (m) veren fonksiyonlar sırasıyla f, g ve h olsun.
Örneğin 3. katta bulunan Ebru asansöre bindiğinde ve asansör harekete başladığı anda fonksiyonun
değeri h 0 2
15 _ i = olmaktadır.
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

  1. Aşağıdaki tabloyu uygun şekilde doldurarak verilen dik koordinat sisteminde f, g ve h fonksiyonlarının
    grafiklerini çiziniz.
2

Matematik 9. Sınıf Problem Fonksiyonlar

1. Katlar arası yüksekliği, asansör hızı ve kat numaraları:

Öncelikle, her katın arasındaki yükseklik 2.5 m olarak verilmiştir. Bu demektir ki, asansörün kullanımı süresince bu yüksekliklerden yararlanacağız. Binanın asansörü, sabit bir hızla saniyede 1.2 m yol almaktadır.

2. Anıl, Berna ve Ebru’nun başlangıç ve varış yerleri:

  • Anıl: Giriş katında (0. kat) başlayarak 3. kata çıkıyor.
  • Berna: 6. katta başlayarak 3. kata iniyor.
  • Ebru: 3. katta başlayarak giriş katına (0. kat) iniyor.

Her bir kişi için hareketini temsil eden fonksiyonları yazacağız.

3. Fonksiyonların Belirlenmesi

Anıl’ın Asansör Hareketi (f(t) Fonksiyonu)

Anıl, giriş katından 3. kata çıkıyor. Anıl’ın hareketi için:

  • Başlangıç Yüksekliği: 0.0 m (Giriş kat)
  • Varış Yüksekliği: 3 x 2.5 m = 7.5 m

Asansör hızını 1.2 m/s olarak biliyoruz, bu yüzden zamanla ilişkili yükseklik fonksiyonu:

  • Anıl’ın başlangıç yüksekliği 0 m’den başlayarak 1.2 m/s hızıyla hareket ederek 3. kata ulaştığındaki yükseklik:
    $$ f(t) = 0 + 1.2t $$

    Anıl 3. kata çıkmak için ne kadar zaman harcar?

    • Gereken yükseklik farkı = 7.5 m
    • Zaman = Yükseklik farkı / Hız
    • Zaman = 7.5 m / 1.2 m/s ≈ 6.25 saniye

Berna’nın Asansör Hareketi (g(t) Fonksiyonu)

Berna, 6. kattan 3. kata iniyor:

  • Başlangıç Yüksekliği: 6 x 2.5 m = 15 m
  • Varış Yüksekliği: 3 x 2.5 m = 7.5 m

Yükseklik inişi:

  • Berna’nın başlangıç yüksekliği 15 m ve hızı yine 1.2 m/s, fakat bu sefer iniyor:
    $$ g(t) = 15 - 1.2t $$

    Berna 3. kata inmek için:

    • Gereken yükseklik farkı = 15 m - 7.5 m = 7.5 m
    • Zaman = 7.5 m / 1.2 m/s ≈ 6.25 saniye

Ebru’nun Asansör Hareketi (h(t) Fonksiyonu)

Ebru, 3. kattan giriş katına iniyor:

  • Başlangıç Yüksekliği: 3 x 2.5 m = 7.5 m
  • Varış Yüksekliği: 0.0 m

Yükseklik inişi:

  • Ebru için, başlangıç yüksekliği 7.5 m ve iniş yönlü hareket:
    $$ h(t) = 7.5 - 1.2t $$

    Ebru giriş kata inmek için:

    • Gereken yükseklik farkı = 7.5 m - 0 m = 7.5 m
    • Zaman = 7.5 m / 1.2 m/s ≈ 6.25 saniye

4. Tablonun Doldurulması ve Grafiklerin Çizilmesi

Tabloyu ve grafik çizimlerini aşağıda veriyoruz:

Zaman (s) Anıl’ın Yüksekliği (f(t)) Berna’nın Yüksekliği (g(t)) Ebru’nun Yüksekliği (h(t))
0 0.0 m 15.0 m 7.5 m
1 1.2 m 13.8 m 6.3 m
2 2.4 m 12.6 m 5.1 m
3 3.6 m 11.4 m 3.9 m
4 4.8 m 10.2 m 2.7 m
5 6.0 m 9.0 m 1.5 m
6 7.2 m 7.8 m 0.3 m
6.25 7.5 m 7.5 m 0.0 m

Bu tablo kullanılarak, grafikleri çizerken f(t), g(t), ve h(t) fonksiyonlarının eğilimlerine dikkat ederek, başlangıç ve bitiş durumları göz önünde bulundurulmalıyız.

5. Grafik Çizimi İçin İpuçları

  • Anıl: (0,0) noktasından (6.25,7.5) noktasına kadar doğrusal bir çizgi.
  • Berna: (0,15) noktasından (6.25,7.5) noktasına kadar doğrusal bir çizgi, ancak iniş yönünde.
  • Ebru: (0,7.5) noktasından (6.25,0) noktasına kadar yine iniş yönünde doğrusal bir çizgi.

Grafikleri çizerken bu eğilimler ve noktalar düzgün bir şekilde işaretlenmelidir. Grafik koordinat sistemi oluşturulurken, zaman ekseninde 0’dan 6.25 saniselere, yükseklik ekseninde ise 0’dan 15 metreye kadar alan sağlanmalıdır. Doğru halde çizilen bu grafikler, bu üç fonksiyonun zaman içindeki değişimlerini görselleştirmemizi sağlayacaktır.

Bu şekilde, zorluk seviyesine göre detaylandırılmış bu problem fonksiyonlarını tamamladık. Öğrenciler bu bilgileri kullanarak tabloyu doğrulayıp grafiklerini çizebilirler.