Katlar arası yükseklikleri eşit ve m olan, giriş katının altında kat bulunmayan 6 katlı bir binanın kat- 2 ları doğal sayılarla (giriş katı 0. kat olmak üzere) numaralandırılmıştır. Binanın asansörü, sabit bir hızla zemine dik olarak saniyedem yol almaktadır. Anil, Berna ve Ebru’nun bu asansörü kullanımına ilişkin aşağıdaki bilgiler veriliyor. Giriş katında bulunan Anil, asansöre binerek 3. kata çıkıyor. herkat S 6. katta bulunan Berna, asansöre binerek 3. kata iniyor. 3. . 3. katta bulunan Ebru, asansöre binerek giriş katına iniyor. Anil, Berna ve Ebru’nun asansörün hareket ettiği süre boyunca zamana (sn.) bağlı yerden yükseklikle- rini (m) veren fonksiyonlar sırasıyla f, g ve h olsun. Örneğin 3. katta bulunan Ebru asansöre bindiğinde ve asansör harekete başladığı anda fonksiyonun 15 değeri h(0) = almaktadır. 27 Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız. 1) Aşağıdaki tabloyu uygun şekilde doldurarak verilen dik koordinat sisteminde f, g ve h fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz.
Soru: Katlar arası yükseklikleri eşit ve m olan, giriş katının altında kat bulunmayan 6 katlı bir binanın kat numaralandırması ve Anil, Berna, Ebru’nun asansörü kullanımı sonucunda f, g ve h fonksiyonlarının grafiklerini nasıl çizeriz?
Cevap:
Bu soruda, her üç kişinin de asansörü kullanma şekline bağlı olarak, yüksekliklerini zamana bağlı olarak veren fonksiyonları inceleyeceğiz. Bina 6 katlıdır ve giriş katı 0. kat olarak numaralandırılmıştır. Her kat arasındaki yükseklik m metre olarak verilmiştir.
Adım 1: Hareketlerin İncelenmesi
- Anil: Giriş katından (0. kat) 3. kata çıkıyor. Bu hareket, yerden yükseklikle zaman arasında artan bir ilişkiyi temsil edecek.
- Berna: 6. kattan 3. kata iniyor. Bu hareket yerden yükselikle zaman arasında azalan bir ilişki göstermektedir.
- Ebru: 3. kattan giriş katına iniyor. Yine yükseklik ile zaman arasında azalan bir ilişki gösterir.
Adım 2: Fonksiyonların Belirlenmesi
Anil için fonksiyon f(t)
- Anil, 0. kattan 3. kata çıkıyor.
- Yükseklik zamanla artmaktadır.
- Eğer asansörün hızı ( v ) m/s olarak sabitse ve bir katta ( m ) metre varsa,
- Anil’in hareketi için fonksiyon ( f(t) = vt ) olarak yazılabilir ve çıkışı tamamladığı zaman ( t_ş = \frac{3m}{v} ) olacaktır.
Berna için fonksiyon g(t)
- Berna, 6. kattan 3. kata iniyor.
- Yükseklik azalmaktadır.
- Berna’nın hareketi için ( g(t) = 6m - vt ) olarak tanımlanabilir ve inişi tamamladığı zaman ( t_i = \frac{3m}{v} ) olacaktır.
Ebru için fonksiyon h(t)
- Ebru, 3. kattan giriş katına iniyor.
- Yükseklik yine azalmaktadır.
- Bu senaryoda ( = 3m - vt ) şeklinde yazılabilir ve inişi tamamladığı zaman ( t_i = \frac{3m}{v} ) olacaktır.
Adım 3: Grafiklerin Çizimi
Koordinat sistemi üzerinde bu fonksiyonları zamana (x ekseni) bağlı olarak yerden yükseklikle (y ekseni) çizeceğiz. Her biri lineer fonksiyonlar olduğundan, doğrusal grafikler elde edeceğiz.
Grafik Çizim Adımları
- Anil için ( f(t) ): Başlangıçta (0,0) noktasından başlar ve ( ( \frac{3m}{v}, 3m ) ) noktasında sona erer.
- Berna için ( g(t) ): Başlangıçta (0,6m) noktasında başlar ve ( ( \frac{3m}{v}, 3m ) ) noktasında sona erer.
- Ebru için ( h(t) ): Başlangıçta (0,3m) noktasında başlar ve ( ( \frac{3m}{v}, 0 ) ) noktasında sona erer.
Sonuç Grafiği
Asansörün sabit hızda hareket ettiği varsayımı ile, bu fonksiyonların grafiklerini yukarıdaki düzenleme ile çizeriz. Anil için eğim pozitiftir, Berna ve Ebru için ise negatiftir çünkü yükseklik azalmaktadır.
Sonuç
Bu bilgilerle birlikte aşağıdaki tabloyu ve grafik düzenlemesini yapabilirsiniz. Fonksiyonlar zamana bağlı yükseklik değişimini net bir şekilde gösterir.
| Zaman (s) | Anil (m) | Berna (m) | Ebru (m) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 6m | 3m |
| t | vt | 6m - vt | 3m - vt |
Nihai Cevap
- Verilen tabloda ve koordint sisteminde fonksiyonlar aşağıdaki gibi dağıtılmıştır:
- Anil’in fonksiyonu ( f(t) = vt )
- Berna’nın fonksiyonu ( g(t) = 6m - vt )
- Ebru’nun fonksiyonu ( h(t) = 3m - vt )
Grafikler sırayla yukarıdan aşağı doğru eğim gösterirken, başlangıç ve bitiş yükseklikleriyle zamandaki değişimleri doğru şekilde gösterecektir.