Görseldeki konulara bakalım:
1. Küme A’nın Elemanları
A kümesi, A = \{ x \, | \, x = 3k - 1, \, k \in \mathbb{Z} \} şeklinde tanımlanmıştır. Bu küme, x'in 3k - 1 formunda olduğu tüm tamsayı k değerlerini içerir. Yani:
- Eğer k = 0 ise, x = 3(0) - 1 = -1.
- Eğer k = 1 ise, x = 3(1) - 1 = 2.
- Eğer k = 2 ise, x = 3(2) - 1 = 5.
Bu kalıbı izleyecek şekilde seri devam eder.
2. Doğruluk İncelemesi
x \in \mathbb{N} olmak üzere x^2 \geq x eşitsizliğinin doğruluğunu inceleyelim:
- Doğal sayılar 0, 1, 2, \ldots şeklinde tanımlıdır.
- Eğer x = 0 ise, 0^2 = 0 \geq 0 doğrudur.
- Eğer x = 1 ise, 1^2 = 1 \geq 1 doğrudur.
- Eğer x \geq 2 ise, x^2 her zaman x'ten büyük olur (çünkü (x-1)(x+1) \geq 0).
Bu nedenlerle, x^2 \geq x eşitsizliği doğal sayılar kümesinde doğrudur.
3. \mathbb{Q} - \{0\} Kümesi
\mathbb{Q} - \{0\} kümesi, sıfır dışında tüm rasyonel sayıları içerir. Bu kümenin dönme, toplama ve çarpma işlemlerine göre kapalı olup olmadığını inceleyelim:
-
Toplama: İki rasyonel sayının toplamı yine rasyoneldir. Örneğin \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}.
-
Çarpma: İki rasyonel sayının çarpımı yine rasyoneldir. Örneğin \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}.
-
Bölme: İki rasyonel sayının bölümü (sıfırla bölme hariç) rasyoneldir. Örneğin \frac{1}{2} \div \frac{1}{3} = \frac{3}{2}.
Dolayısıyla, rasyonel sayılar sıfır çıkarıldığında bu işlemler için kapalı bir küme oluştururlar.
4. A Kümesinin İşlemlere Göre Kapalılığı
A kümesi, A = \{ x \, | \, x = 10k, \, k \in \mathbb{R} \} şeklinde tanımlanmıştır. Yani x'in 10’un tam katı olan tüm gerçek sayılardan oluşur. Şimdi, bu kümenin toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerine göre kapalı olup olmadığını inceleyelim:
-
Toplama/Çıkarma: İki sayı 10k_1 ve 10k_2 ise, 10k_1 + 10k_2 = 10(k_1 + k_2), yine bu kümede.
-
Çarpma: İki sayı 10k_1 ve 10k_2 ise, 10k_1 \times 10k_2 = 100k_1k_2, bu ifade 10’a bölündüğünde geriye kalan kısım yine R’nin bir elemanı olur.
-
Bölme: Eğer k_1 \neq 0 ise, 10k_1 \div 10k_2 yine bir reel sayı elde edecektir.
Bu nedenle, A kümesi belirtilen işlemler için kapalıdır.
Bu başlıklar, 66. sayfadaki çalışmanın içeriğini kapsamaktadır. Daha fazla pratik ve uygulama ile konular daha iyi anlaşılacaktır.