Soru: Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f(x) doğrusal fonksiyonu ile ilgili problem
Bu soru, doğrusal fonksiyonun özelliği olan doğru denklemini (y = mx + b) kullanarak çözülür.
Verilenler
- f(4) / f(1) = 2
- f(6) = 16
- Fonksiyon doğrusal (doğru denklemi biçiminde).
Doğrusal Fonksiyonun Genel Formülü
Bir doğrusal fonksiyon şöyle yazılır:
f(x) = mx + b
Burada:
- m, doğrusal fonksiyonun eğimi (katsayı).
- b, fonksiyonun sabit (y eksenini kestiği nokta).
Adım 1 – f(4) ve f(1)'in orantısı ile m'i bulmak
Verilen orantıya göre:
\frac{f(4)}{f(1)} = 2
Bu nedenle:
f(4) = 2 \cdot f(1)
Doğrusal fonksiyon olduğu için:
f(4) = 4m + b, \quad f(1) = m + b
Yukarıdaki ifadeyi yerine koyarak:
\frac{(4m + b)}{(m + b)} = 2
Adım 2 – b'yi çıkaralım
Çapraz çarpma yapalım:
4m + b = 2 \cdot (m + b)
Açılırsa:
4m + b = 2m + 2b
Buradan:
2m = b
Adım 3 – f(6)'yı kullanarak eşitlik oluşturmak
Fonksiyonun f(6) = 16 olduğu verilmiş:
f(6) = 6m + b = 16
Yerine koyarak:
6m + 2m = 16
Buradan:
8m = 16
m = 2
Adım 4 – b'yi bulalım
b = 2m = 2 \cdot 2 = 4
Adım 5 – Fonksiyonun formülünü yazalım
Artık elimizde şu var:
f(x) = 2x + 4
Adım 6 – f(-3)'ü bulalım
Fonksiyon içinde x = -3 yerine konur:
f(-3) = 2(-3) + 4
f(-3) = -6 + 4
f(-3) = -2
Cevap:
B) -2
Eğer başka sorularınız varsa her zaman yardımcı olmaktan mutluluk duyarım! @Ahmet_00
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f(x) doğrusal fonksiyonu, f(4) / f(1) = 2 eşitliğini sağlamaktadır. f(6)=16 olduğuna göre f(-3) kaçtır?
Cevap:
Aşağıdaki adımlarla soruyu çözelim:
-
Doğrusal fonksiyonun formu
Her doğrusal fonksiyon, f(x) = ax + b şeklinde yazılabilir. Burada a ve b, gerçel sabitlerdir. -
Verilen ilk oranı kullanma
Soruya göre:\frac{f(4)}{f(1)} = 2Fonksiyon tanımı gereği:
f(4) = a \cdot 4 + b = 4a + b \quad\text{ve}\quad f(1) = a \cdot 1 + b = a + bOran:
\frac{4a + b}{a + b} = 2Çarpım yaparak çözelim:
4a + b = 2(a + b) \implies 4a + b = 2a + 2b \implies 2a = b \,.Böylece b = 2a sonucunu elde ettik.
-
f(6) = 16 koşulunu kullanma
Soru ayrıca veriyor:f(6) = 16Tanım gereği:
f(6) = a \cdot 6 + b = 6a + bEşitliği yazalım:
6a + b = 16Bir önceki adımda b = 2a bulduğumuz için bunu yukarıdaki denklemde yerine koyarak:
6a + 2a = 16 \implies 8a = 16 \implies a = 2.Ardından b = 2a olduğu için:
b = 2 \cdot 2 = 4.Dolayısıyla fonksiyonumuz:
f(x) = 2x + 4. -
İstenen değeri bulma
f(-3) = 2(-3) + 4 = -6 + 4 = -2.
Bu nedenle f(-3) değeri -2’dir.
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f(x) doğrusal fonksiyonu, f(4) / f(1) = 2 eşitliğini sağlamaktadır. f(6) = 16 olduğuna göre, f(-3) kaçtır?
Cevap:
Aşağıda, bu sorunun çözümünü son derece detaylı biçimde, adım adım inceleyerek anlatacağız. Amacımız yalnızca sorunun cevabını vermek değil, aynı zamanda doğrusal (lineer) fonksiyonların genel özelliklerini, türetme yöntemlerini ve benzeri konuları kapsamlı şekilde açıklayarak derin bir anlayış kazandırmaktır. Lütfen sorunun oldukça basit gözüktüğünü düşünmeyin; biz burada hem soruyu çözeceğiz hem de sizin için konunun farklı yönlerini irdelerken, ek örnekler, tablolar ve açıklamalarla öğrenim sürecinizi zenginleştireceğiz. Bu yaklaşım, hem daha ileri seviyede matematik öğrenmek isteyenler hem de temeli güçlendirme amacı taşıyanlar için yararlıdır.
İçindekiler
- Doğrusal Fonksiyon Kavramına Giriş
- Sorunun Analizi
- Lineer Fonksiyon Formülü ve Katsayılar
- Verilen Şartların Yorumlanması
- Doğrusal Fonksiyonun Belirlenmesi (Adım Adım Hesaplama)
- Hesaplama Sürecini Özetleyen Tablo
- Ek Açıklamalar ve Doğrusal Fonksiyon Örnekleri
- Ek Matematiksel Açılımlar
- Uzatılmış Çözüm Açıklaması ve Detaylar
- Sorunun Geniş Değerlendirmesi ve Benzer Problem Örnekleri
- Sonuç ve Özet
- Kısa Yanıt ve Cevap
1. Doğrusal Fonksiyon Kavramına Giriş
“Doğrusal Fonksiyon” kavramı, matematikte sık sık karşımıza çıkan ve f(x) = ax + b biçimiyle ifade edilen fonksiyonları tanımlar. Burada:
- a, fonksiyonun eğimini (slope) belirleyen katsayıdır.
- b, fonksiyonun y-eksenini kestiği noktayı (y-intercept) ifade eder.
- x, bağımsız değişkeni,
- f(x), bağımlı değişkeni (fonksiyonun çıktısını) temsil eder.
“Doğrusal” olarak adlandırılmasının nedeni, grafiğinin iki boyutlu koordinat sisteminde düz bir çizgi (line) olmasıdır.
Bu tür fonksiyonlar, gerçek hayat durumlarının modellenmesinde, fiziğin temel yasalarının ifade edilmesinde (örneğin, sabit hızla hareket) veya istatistik-muhasebe uygulamalarında (örneğin, kâr-zarar hesaplamalarında) sık sık kullanılır.
Özellikle, size verilen problemde, doğrusal fonksiyonun tanımlayıcı özelliklerine dair ek ipuçları bulunur:
- İki noktadaki (veya iki farklı girdinin) değeri arasında oransal bir ilişki,
- Başka bir noktadaki değeri,
- Bu bilgilere dayanarak fonksiyonun genel formunu bulma isteği.
Bu yüzden, en sade haliyle aşağıdaki soruya hazırlanırız:
“f(4)/f(1) = 2 koşulu ve f(6) = 16 bilgisi, doğrusal fonksiyonun sabitlerini nelerdir ve bu fonksiyon, x = -3 için hangi değeri verir?”
2. Sorunun Analizi
Elimizde temel olarak iki parça bilgi bulunuyor:
- Oran Bilgisi: f(4) / f(1) = 2.
- Değer Bilgisi: f(6) = 16.
Bu iki bilgi, f(x) = ax + b şeklinde bir fonksiyonun a ve b katsayılarını belirlememize yetecektir. Çünkü doğrusal fonksiyonları belirlemek için genelde iki bilgi (örneğin iki noktadan geçme, bir nokta ile bir eğim değeri vb.) yeterlidir.
Soruda istenen nihai bilgi şudur: f(-3) = ?
Elbette bu tür bir problemde, önce a ve b katsayılarını bulup sonra x = -3 için fonksiyonun değerini hesaplamak mantıklı ve klasik yoldur.
3. Lineer Fonksiyon Formülü ve Katsayılar
Bir doğrusal fonksiyonun en yaygın gösterimi:
f(x) = a x + b
olacak şekildedir. Burada:
- a, eğim (slope)
- b, y-eksenini kestiği nokta (intercept)
Ek olarak, fonksiyon tanım kümesi (domain) olarak genellikle “gerçek sayılar” varsayılır, ki soruda da “Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f(x) doğrusal fonksiyonu” ifadesi bunu netleştirir.
4. Verilen Şartların Yorumlanması
4.1. Oran Şartı: f(4)/f(1) = 2
Birinci bilgi:
\frac{f(4)}{f(1)} = 2
Bu, f(4) değerinin f(1) değerinin iki katı olması gerektiği anlamına gelir.
Bir başka deyişle:
f(4) = 2 \cdot f(1)
4.2. Değer Şartı: f(6) = 16
İkinci bilgi, x = 6 için fonksiyon değeri 16’dır:
f(6) = 16
Bu iki bilgi birlikte kullanılarak a ve b değerleri bulunacaktır.
5. Doğrusal Fonksiyonun Belirlenmesi (Adım Adım Hesaplama)
5.1. a ve b Katsayılarının Bulunması
f(x) = a x + b biçiminde olduğunu varsayalım. Bu durumda:
- f(4) = 4a + b
- f(1) = 1a + b = a + b
Dolayısıyla:
\frac{f(4)}{f(1)}
= \frac{4a + b}{a + b}
= 2
Bu denklemden:
4a + b = 2 (a + b)
4a + b = 2a + 2b
4a - 2a = 2b - b
2a = b
Elde edilir. Yani b = 2a.
Bu ilk adım bize, b’nin a’nın 2 katı olduğunu gösterir.
Şimdi ikinci koşul: f(6) = 16.
Burada:
f(6) = 6a + b = 16
Ancak b = 2a olduğunu biliyoruz; dolayısıyla:
6a + 2a = 16
8a = 16
a = 2
a = 2 bulduktan sonra, b = 2a = 2(2) = 4 elde ederiz. Dolayısıyla fonksiyonumuz:
f(x) = 2x + 4
5.2. f(-3) Değerinin Hesaplanması
Bulduğumuz fonksiyonu kullanarak x = -3 için değeri hesaplayalım:
f(-3) = 2 \cdot (-3) + 4 = -6 + 4 = -2
Dolayısıyla:
f(-3) = -2
Sorumuza göre cevap seçeneklerine bakarsak, -2 sonucu (muhtemelen C seçeneği) yanıtı vermektedir.
6. Hesaplama Sürecini Özetleyen Tablo
Aşağıdaki tabloda, adım adım elde ettiğimiz bilgileri özetliyoruz:
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Doğrusal form | f(x) = a x + b | Varsayım: a ve b’yi bulacağız |
| 2. Oran denklemi | (f(4)) / (f(1)) = 2 → (4a + b) / (a + b) = 2 | b = 2a |
| 3. Değer denklemi | f(6) = 6a + b = 16 | 6a + b = 16 |
| 4. b’yi ikame etme | 6a + 2a = 16 | a = 2 |
| 5. b’yi bulma | b = 2a = 2 × 2 = 4 | b = 4 |
| 6. Fonksiyonun formu | f(x) = 2x + 4 | Nihai fonksiyon |
| 7. Aranan değer | f(-3) = 2×(-3) + 4 = -2 | f(-3) = -2 |
Gördüğünüz gibi, bir doğrusal fonksiyon için gereken iki denklem (oran koşulu ve değerin belirli bir noktadaki değeri) sistematik biçimde çözüldüğünde, fonksiyon tanımı netleşmekte, dolayısıyla istenen noktanın çıktısı da kolaylıkla elde edilmektedir.
7. Ek Açıklamalar ve Doğrusal Fonksiyon Örnekleri
Bu noktada, soru çözüldü ve cevabı bulduk. Ancak doğrusal fonksiyonların nasıl kullanıldığına ve benzer problemlerde hangi stratejilerle ilerlenebileceğinize dair genişletilmiş bilgi vermek faydalı olacaktır.
7.1. Doğrusal Fonksiyonlarda Eğim ve Kesim Noktaları
Bir doğrusal fonksiyon olan f(x) = ax + b, x-ekseni üzerindeki konumu ve y-ekseni kesişimiyle tanımlanır.
- Eğim (a): Fonksiyonun, x’teki bir birimlik artışa karşılık f(x)’teki değişim miktarıdır. Örneğin a = 2 ise, x her 1 artarken f(x) de 2 artar.
- Y-kesim noktası (b): x = 0 konulduğunda f(0) = b elde edilir. Bu da grafiğin y-ekseni üzerinde (0, b) noktasından geçtiğini gösterir.
7.2. Verilen Bir Noktaya Uyumlu Fonksiyon Bulma
Eğer fonksiyonun a eğimi biliniyorsa, bir noktadaki (x₀, f(x₀)) değeriyle b bulunabilir: b = f(x₀) – a x₀. Bu oldukça temel, ama çok sık kullanılan bir yöntemdir.
7.3. İki Noktadan Geçen Doğrusal Fonksiyonları Belirleme
Daha da genel bir ifadeyle, iki farklı noktadan (x₁, y₁) ve (x₂, y₂) geçen bir doğrusal fonksiyonun eğimi:
a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
kesim noktası ise:
b = y_1 - a x_1
olarak bulunabilir.
7.4. Oran ve Katsayı Arasındaki İlişki
Bu problemde y ekseni boyunca belirli noktalar arasındaki oransal bağlantı, fonksiyonun formülüne “dolaylı ipucu” vermektedir. Basitçe f(4)/f(1) = 2, “çok noktadan geçen” yaklaşımı kadar somut bir denklem sunmasa bile, aynı kapıya çıkar.
7.5. Ek Bir Örnek: Oran Koruması Yapan Bir Fonksiyon Örneği
Örneğin, f(2)/f(1) = 3 gibi bir orandan yola çıkarak benzer şekilde b = a ile bağlantılı bir ifade çıkabilir, veya farklı sabit değerler. Oran vermek, aslında iki ayrı noktadaki f(x) değerlerinin tanımlanmasında yeterli bir bilgidir ve probleme ek bir koşul (başka bir noktadaki değer, ya da f(0) gibi) eklenince lineer fonksiyon tümüyle belirlenmiş olur.
8. Ek Matematiksel Açılımlar
8.1. Doğrusal Fonksiyon Tanımının Alternatif Biçimi
Matematikte, “doğrusal fonksiyon” bazen “lineer fonksiyon” veya “affin fonksiyon” gibi kavramlarla ilişkilendirilir. Kimi kaynaklar “doğrusal fonksiyon” diyerek sadece f(x) = ax (yani b = 0) formunu kasteder. Ancak lise müfredatında sıklıkla f(x) = ax + b formunda b ≠ 0 için de “doğrusal” terimi kullanılmaktadır.
8.2. Lineer Fonksiyon ile Affin Fonksiyon Ayrımı
Daha ileri seviyede, “lineer” ifadesi genelde b = 0 olma durumunu, “affin” ifadesi b ≠ 0 olma durumunu gösterir. Fakat çoğu zaman düzeyler arası karışıklık olmaması için, ortaöğretim ve lise düzeyinde b sıfır olsa da olmasa da “doğrusal” denir.
8.3. Analitik Geometri Açısından Yorum
Analitik geometri bağlamında, f(4)/f(1) = 2 koşulu, grafikte (1, f(1)) ve (4, f(4)) noktalarından geçen doğru ile ilgili bir orana denk gelir. Oran = 2 olması, (4, f(4)) noktasının y değeri, (1, f(1)) noktasının iki katı olduğunu anlatır.
9. Uzatılmış Çözüm Açıklaması ve Detaylar
Görüldüğü üzere, fonksiyonun genel formunu bulmak için iki basit aşama yeterli. Yine de bu aşamaların detaylarını derinlemesine incelemek, konuya hakimiyeti artırır.
9.1. Neden f(x) = a x + b Formatı?
Çünkü problemde “doğrusal fonksiyon” ibaresi açıkça geçiyor. Doğrusal fonksiyonların en yaygın ifadesi budur. Ardından, “iki nokta veya iki şart verildiğinde, a ve b’yi bulabiliriz” temel prensibine uygun şekilde ilerlenir.
9.2. Eşitliklerin Adım Adım Kullanımı
-
f(4)/f(1) = 2 koşulu.
- f(4) = 4a + b
- f(1) = a + b
- Bu oranın 2’ye eşit olması, 4a + b = 2(a + b) denklemini verir.
-
f(6) = 16 koşulu.
- f(6) = 6a + b = 16
-
Her ikisini aynı anda çözüp, b = 2a, sonra 6a + 2a = 16 adımlarından a=2, b=4’e ulaşılır.
9.3. Muhtemel Hata Noktaları
- Oran koşulunda (f(4))/(f(1)) = 2 ifadesini yanlış yorumlamak, örneğin f(4) – f(1) = 2 gibi algılamak sık rastlanan bir hatadır.
- Doğrusal fonksiyon yerine başka fonksiyon (f(x)=ax² + b gibi) düşünmek de yanlıştır, çünkü açıkça “doğrusal” denmiştir.
- Negatif değerlerle işlem yaparken veya x = -3 gibi bir değerde b ile çarpma durumlarını unutmak da bazen sonuçta küçük hesap hatalarına yol açar.
9.4. Genel Geçerlilik ve Teklik
İki farklı koşul (ki burada birisi oran, diğeri belirli noktadaki değer) doğrusala dair a ve b parametrelerini tekil olarak belirler. Dolayısıyla bir tane fonksiyon çıkacaktır. Bu fonksiyon, -3’de de tek bir değere sahiptir. Bu da lineer fonksiyonun “tek çözüm” içeren karakterine işaret eder.
10. Sorunun Geniş Değerlendirmesi ve Benzer Problem Örnekleri
Bu tür soruları genellemek mümkün:
- “f(a)/f(c) = k” gibi bir oran condition,
- “f(b) = d” gibi bir değer condition,
- Çözüme ulaşın ve istenen x = e noktasında f(e) değerini bulun.
Örneğin:
- f(2)/f(3) = 5, f(1) = 2 gibi bir problem de benzer şekilde çözülebilir.
- Yeter ki “doğrusal” vurgusu yapılsın veya “fonksiyon lineer” ifadesi yer alsın.
Başka bir benzer problem:
- f(1) = 4 ve f(3) = 10 ise f(0) nedir?
- Eğim a = (10 – 4)/(3 – 1) = 6/2 = 3
- b = f(1) – a×1 = 4 – 3×1 = 1
- f(x) = 3x + 1; f(0) = 1
Bu tür klasik örnekler, lineer fonksiyonun belirlenmesinde aynı mantığı paylaşır.
11. Sonuç ve Özet
Tüm bu hesaplar ve açıklamalar bir araya getirildiğinde, şunu görüyoruz:
- Doğrusal fonksiyon f(x) = ax + b formunda ifade edilir.
- Verilen oran (f(4)/f(1) = 2) ve bir nokta bilgisi (f(6) = 16) sayesinde a ve b bulunur.
- Soruda f(-3) değerini bulmamız istenir.
Yapılan işlemler neticesinde:
- b = 2a
- 6a + b = 16
denklemleri çözüldüğünde a = 2, b = 4 elde edilir. Böylece
f(x) = 2x + 4
ve son olarak
f(-3) = 2(-3) + 4 = -6 + 4 = -2
Yanıt: -2.
Bu da bize f(-3) = -2 sonucunu vermektedir.
12. Kısa Yanıt ve Cevap
Eğer soruyu hızlıca cevaplamak isteseydik, şu yolu izleyebilirdik:
- f(x) = a x + b şeklinde yaz.
- (4a + b) / (a + b) = 2 → 4a + b = 2a + 2b → 2a = b.
- f(6) = 6a + b = 16. b=2a olduğu için 6a + 2a = 16 → 8a=16 → a=2. Dolayısıyla b=4.
- f(x)=2x+4.
- f(-3)=2(-3)+4=-6+4=-2.
Sonuç: -2 (C şıkkı gibi görünüyor).
Tabii ki bu kısa yöntemle de sonunda aynı cevabı bulurduk.
Uzun açıklamaların ardından bu problemde cevabımız -2’dir.