3. 5’ten ( a )'ya kadar olan tam sayıların toplamı ( x ) ise, 8’den, ( a+1 )'e kadar olan tam sayıların toplamı ( y ) ise ( x - y + a ) toplamı kaçtır?
Çözüm:
İlk olarak, bu soruda verilen bilgileri ve yapmamız gereken hesaplamaları inceleyelim:
-
( 5 ) ile ( a ) arasındaki tam sayıların toplamı ( x ):
Bu toplamı bulmak için, aritmetik serilerin formülünü kullanabiliriz. Aritmetik serilerde, bir dizi için ilk terim (( a_1 )), son terim (( a_n )) ve terim sayısı (( n )) bilindiğinde, terimlerin toplamı (( S_n )) şu şekilde hesaplanabilir:
S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n)Burada, ( a_1 = 5 ) ve ( a_n = a ). Terim sayısını bulmak için:
n = a - 5 + 1 = a - 4
O halde, toplam ( x ) şu şekilde hesaplanır:
x = \frac{a - 4}{2} \times (5 + a) = \frac{(a-4)(a+5)}{2}
-
( 8 ) ile ( a+1 ) arasındaki tam sayıların toplamı ( y ):
Benzer şekilde, tam sayıların toplamı:
Başlangıç terimi (( b_1 = 8 )) ve son terim (( b_n = a+1 )) ile toplam terim sayısını buluyoruz:
n = a+1 - 8 + 1 = a - 6
Bu durumda, toplam ( y ) şu şekilde hesaplanır:
y = \frac{a - 6}{2} \times (8 + (a+1)) = \frac{(a-6)(a+9)}{2} -
( x-y+a ) toplamını hesaplayalım:
( x - y + a ) ifadesini bulmak için ((\frac{(a-4)(a+5)}{2} - \frac{(a-6)(a+9)}{2}) + a) hesaplayalım.
x - y = \frac{(a-4)(a+5) - (a-6)(a+9)}{2}
Bu ifadeyi düzenleyelim:
x - y = \frac{(a^2 + 5a - 4a - 20) - (a^2 + 9a - 6a - 54)}{2}x - y = \frac{(a^2 + a - 20) - (a^2 + 3a - 54)}{2}x - y = \frac{a^2 + a - 20 - a^2 - 3a + 54}{2}x - y = \frac{-2a + 34}{2}x - y = -a + 17Şimdi, ( x - y + a ) ifadesi için, ( -a + 17 + a = 17 ) sonucunu buluruz.
Yanıt: 17
Dolayısıyla, ( x - y + a ) toplamı 17’dir ve doğru seçenek ( E) 17 ) olacaktır.