14. Soru:
Problem:
Verilen iki denklem var:
- ( x + y = 8 )
- (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{5})
Amacımız: (x^2 + y^2) ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm:
İlk olarak, verilen ikinci denklemi daha anlaşılır bir forma sokalım:
[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x+y}{xy} = \frac{2}{5}
]
Buradan ( xy) değerine ulaşabiliriz:
[
\frac{8}{xy} = \frac{2}{5} \implies xy = \frac{8 \cdot 5}{2} = 20
]
Bu durumda elimizde iki denklem var:
- (x + y = 8)
- (xy = 20)
Şimdi bu bilgileri kullanarak (x^2 + y^2) bulabiliriz. Çözüm için şu özdeşliği kullanabiliriz:
[
x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy
]
Denklemleri yerine koyarsak:
[
x^2 + y^2 = 8^2 - 2 \times 20 = 64 - 40 = 24
]
Sonuç: 24
15. Soru:
Problem:
Verilen denklemler:
- ( a - b = 3 )
- ( a \cdot b = 2 )
Amacımız: (a^3 - b^3) ifadesinin değeri nedir?
Çözüm:
İlk olarak, aşağıdaki özdeşliği kullanarak çözümü gerçekleştiriyoruz:
[
a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)
]
Verilenler ile bu ifadedeki bilgilere ulaşabiliriz:
(a - b = 3 ) ve ( ab = 2)
Öncelikle ( a^2 + ab + b^2) ifadesini bulalım:
[
a^2 + ab + b^2 = (a+b)^2 - ab
]
(a+b) ifadesini bulmak için iki ayrı kök polinomu tamamlamamıza gerek yok, dolaylı olarak (a+b) bulmak için şu denklemi kullanabiliriz:
((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2), buradan
( a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab = 9+4 =13 ).
Yukarıdaki parçacıkları bir araya getirerek:
[
a^2 + ab + b^2 = 13 + ab = 13 + 2 = 15
]
Tüm bu bilgileri yerine koyarak:
[
a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) = 3 \times 15 = 45
]
Sonuç: 45
16. Soru:
Problem:
Verilen:
- ( x - \frac{1}{x} = 2)
Amacımız: (x^2 + \frac{1}{x^2}) ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm:
Verilen denklemi bir özdeşlik yardımıyla genişletelim:
[
(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}
]
Verilen denklemi karesini alarak:
[
(x - \frac{1}{x})^2 = 4 \implies x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 4
]
Buradan:
[
x^2 + \frac{1}{x^2} = 4 + 2 = 6
]
Sonuç: 6
Özet Tablo
| Soru No | Sorular | Sonuç |
|---|---|---|
| 14. | (x^2 + y^2) ifadesinin eşiti | 24 |
| 15. | (a^3 - b^3) ifadesinin değeri | 45 |
| 16. | (x^2 + \frac{1}{x^2}) ifadesinin eşiti | 6 |