Hatice Nur Bayram’ın Matematik Sorusu
Soru:
( y = f(x) ) ikinci dereceden bir fonksiyondur.
[ (f(x)(3 - x)) \leq 0 ]
[ x^2 - 5x + 6 ]
eşitsizliğinin çözüm kümesinin ([5, \infty)) olduğu biliniyor.
Buna göre, (f(x) > 0) eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) ((5, \infty))
- B) ((-\infty, 5))
- C) ((-5, 5))
- D) (\mathbb{R} - [2, 5))
- E) (\mathbb{R} - (2, 5))
Çözüm:
-
Eşitsizliğin Çözüm Kümesinin Analizi:
- Verilen bilgilere göre:
[
x^2 - 5x + 6 \leq 0 \text{ eşitsizliğinin çözüm kümesi } [5, \infty).
]
Bu eşitsizlik, ikinci dereceden denklemin köklerini ve parabol grafiğini göz önünde bulundurarak çözülür.
- (x^2 - 5x + 6 = 0) denkleminin köklerini bulalım:
[
x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0
]
Bu denklemin kökleri (x = 2) ve (x = 3)'tür.
Verilen bilgilere dayanarak çözüm kümesi [2, 3] aralığını kapsamıyor. O halde;
- Verilen bilgilere göre:
-
Eşitsizlik Çözümü ile Çakışan Bölgeleri Belirleme:
( f(x) = x^2 - 5x + 6 ) fonksiyonu için (f(x) > 0) olduğu bölgeleri bulalım:[
\begin{cases}
x < 2 \
x > 3
\end{cases}
]Bu durumda (f(x))'in pozitif olduğu kümeler:
[
(-\infty, 2) \cup (3, \infty)
] -
Bu Elde Edilen Kümeyi Verilen Bilgi ile Birleştirme:
- Verilen bilgiye göre parabolün pozitif olduğu aralık ( (5, \infty) ) dir.
- Bu bilgiye göre (f(x) > 0 ) olan küme:
[
(-\infty, 2) \cup (3, 5)
]
-
Çözüm Kümesi Seçeneklerden Hangisine Uygun?:
Elde ettiğimiz çözüm kümelerine ve verilen seçeneklere göre:- A) ((5, \infty))
- B) ((-\infty, 5))
- C) ((-5, 5))
- D) (\mathbb{R} - [2, 5))
- E) (\mathbb{R} - (2, 5))
Dolayısıyla cevap;
(\mathbb{R} - [2, 5)) olan D şıkkıdır.
Sonuç:
(f(x) > 0) eşitsizliğinin çözüm kümesi: (\boxed{D) \mathbb{R} - [2, 5)}).