3. ( \frac{2^{2a} + 2^{2a-1}}{4^{a+1} - 2^{2a+3}} ) ifadesinin eşitini bulunuz.
Cevap:
Bu ifadeyi daha basit bir biçime dönüştürebiliriz:
Çözüm Adımları:
-
Üst ifadeleri düzenleyelim:
- ( 2^{2a} + 2^{2a-1} = 2^{2a}(1 + 2^{-1}) = 2^{2a} \cdot \frac{3}{2} )
- ( 4^{a+1} = (2^2)^{a+1} = 2^{2(a+1)} = 2^{2a+2} )
- ( 2^{2a+3} = 2^{2a} \cdot 2^3 = 2^{2a+3} )
-
Paydanın düzenlenmesi ve sadeleştirme:
- ( 4^{a+1} - 2^{2a+3} = 2^{2a+2} - 2^{2a+3} = 2^{2a}(4 - 8) = -4 \cdot 2^{2a} )
-
İfadenin düzenlenmesi:
\frac{2^{2a} \cdot \frac{3}{2}}{-4 \cdot 2^{2a}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{-4} = -\frac{3}{8}
Sonuç: ( -\frac{3}{8} )
4. ( (16^{\frac{1}{4}} + 625^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}} ) işleminin sonucunu bulunuz.
Cevap:
Çözüm Adımları:
-
Kök ifadelerini hesaplayalım:
- ( 16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} = 2 )
- ( 625^{\frac{1}{2}} = \sqrt{625} = 25 )
-
Toplama işlemi ve küp kök alma:
(2 + 25)^{\frac{1}{3}} = (27)^{\frac{1}{3}} = 3
Sonuç: ( 3 )
5. ( \frac{\sqrt{96} - 3\sqrt{54} + 5\sqrt{24}}{\sqrt{8} + 3\sqrt{50}} ) işleminin sonucunu bulunuz.
Cevap:
Çözüm Adımları:
-
Kökleri sadeleştirelim:
- ( \sqrt{96} = 4\sqrt{6} )
- ( 3\sqrt{54} = 3 \times 3\sqrt{6} = 9\sqrt{6} )
- ( 5\sqrt{24} = 5 \times 2\sqrt{6} = 10\sqrt{6} )
- ( \sqrt{8} = 2\sqrt{2} )
- ( 3\sqrt{50} = 3 \times 5\sqrt{2} = 15\sqrt{2} )
-
İlk sadeleştirmeler:
- Pay: ( 4\sqrt{6} - 9\sqrt{6} + 10\sqrt{6} = 5\sqrt{6} )
- Payda: ( 2\sqrt{2} + 15\sqrt{2} = 17\sqrt{2} )
-
Sonuç:
\frac{5\sqrt{6}}{17\sqrt{2}} = \frac{5}{17} \cdot \sqrt{3}
Sonuç: ( \frac{5}{17}\sqrt{3} )
6. ( \sqrt{20 + \sqrt{7} + \frac{18}{5 + \sqrt{7}}} ) işleminin sonucunu bulunuz.
Cevap:
Çözüm Adımları:
-
Rasyonel ifadeyi düzenleyelim:
- Çözüm için paydanın eşleniğini kullanalım: ( \frac{18}{5+\sqrt{7}} \cdot \frac{5-\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}} )
- ( = \frac{18(5-\sqrt{7})}{(5+\sqrt{7})(5-\sqrt{7})} )
- ( = \frac{18(5-\sqrt{7})}{25-7} )
- ( = \frac{18(5-\sqrt{7})}{18} )
- ( = 5 - \sqrt{7} )
-
İfade ve sonuç:
- ( 20 + \sqrt{7} + 5 - \sqrt{7} = 25 )
- ( \sqrt{25} = 5 )
Sonuç: ( 5 )