Görünen o ki, soruların bulunduğu bir matematik kitabı sayfası paylaşılmış. Sorulardan birini çözerek yardımcı olabilirim. Hangi sorunun çözümüyle başlayalım?
- Soru ile başla
33. Soru:
İfade:
[
\frac{2^{2a} + 2^{a-1}}{4^{a+1} - 2^{2a-3}}
]
Çözüm:
Adım 1: İfadeleri ortak tabanda yazalım.
- ( 4^{a+1} = (2^2)^{a+1} = 2^{2(a+1)} = 2^{2a+2} )
- ( 2^{2a-3} = 2^{2a} \cdot 2^{-3} = \frac{2^{2a}}{2^3} = \frac{2^{2a}}{8} )
Adım 2: Payda kısmındaki ifadeyi düzeltelim.
- ( 4^{a+1} - 2^{2a-3} = 2^{2a+2} - \frac{2^{2a}}{8} )
Adım 3: Pay kısmını hiç değiştirmiyoruz fakat yukarıdaki haliyle paydayı basitleştirebiliriz.
- Önce ortak payda bulalım: (2^{2a+2} = \frac{2^{2a+2} \cdot 8}{8} = \frac{8 \cdot 2^{2a+2}}{8} = \frac{8 \cdot 2^{2a} \cdot 2^2}{8})
otomatik olarak:
( \frac{8 \cdot 2^{2a}}{8} - \frac{2^{2a}}{8} = \frac{8 \cdot 2^{2a} - 2^{2a}}{8} = \frac{(8 - 1) \cdot 2^{2a}}{8} = \frac{7 \cdot 2^{2a}}{8})
Adım 4: İfadeyi yeniden düzenleyelim.
-
[
\frac{2^{2a} + 2^{a-1}}{\frac{7 \cdot 2^{2a}}{8}}
] -
Yukarıdaki ifadeyi ters çevirip çarptığımızda:
[
= 8 \cdot \frac{2^{2a} + 2^{a-1}}{7 \cdot 2^{2a}}
]
Adım 5: İçerideki ifadenin (2^{a}) oranını çıkartabiliriz.
-
[
= 8 \cdot \frac{2^{a} \cdot 2^{a} + 2^{a} \cdot 2^{-1}}{7 \cdot 2^{2a}}
] -
[
= 8 \cdot \frac{2^{a} (2^{a} + \frac{1}{2})}{7 \cdot 2^{2a}}
]
Bu ifadeyi daha da basitleştirebiliriz:
- [
= \frac{8}{7} \cdot \left(1 + \frac{1}{2^{a+1}}\right)
]
Sonuç:
İşlemin sonucu bu haliyle düzenlenebilir ya da özellikle (a) üzerinde işlem yapılabilir.
Bu tür bir belirgin ifade çıkıyor, ve bu dayanağı kullanarak kesin ya da belirli bir (a) ifadesine göre çözebilirsiniz.
- Sorunun cavabı
- sorunun çözümüne bakalım:
Soru:
$$\frac{2^{2a} + 2^{a-1}}{4^{a+1} - 2^{2a-3}}$$ ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm:
-
Üst ifadelerini aynı tabanda yazalım:
- 2^{2a} zaten tabanı 2’dir.
- 2^{a-1} de tabanı 2’dir.
-
Paydadaki ifadeleri de tabanı 2 cinsinden yazabiliriz:
- 4^{a+1} = (2^2)^{a+1} = 2^{2(a+1)} = 2^{2a+2}
- 2^{2a-3} zaten tabanı 2’dir.
-
Bu ifadeleri yerine koyarak devam edelim:
$$ \frac{2^{2a} + 2^{a-1}}{2^{2a+2} - 2^{2a-3}} $$ -
Pay ve paydadaki terimleri benzer hale getirmek için çarpanlarına ayıralım.
- Pay: 2^{a-1} (2^{a+1} + 1)
- Payda: 2^{2a-3} (2^5 - 1) = 2^{2a-3} (32 - 1) = 2^{2a-3} \times 31
-
Sadeleştirme:
$$ \frac{2^{a-1} (2^{a+1} + 1)}{2^{2a-3} \times 31} $$ -
Sadeleştikten sonra sonuç aşağıdaki gibi olur:
$$ \frac{2^{a-1} (2^{a+1} + 1)}{2^{2a-3} \times 31} = \frac{2^{a+1} + 1}{2^{a+2} \cdot 31} $$
Sonuç:
Bu işlem sonucunda ifade yukarıdaki gibi sadeleştirilmiş olur. Eğer belirli bir değer yerine koymamız gerekmezse, bu haliyle bırakılabilir.