Soru: “Aşağıda üzerinde birer tam sayının yazılı olduğu altı kart verilmiştir: -8, -4, 5, -2, -6, 3. Ahmet bu kartlardan üzerlerinde yazan sayıların çarpımı en büyük olacak şekilde ikisini seçmiştir. Ardından Mete kalan kartlardan üzerlerinde yazan sayıların çarpımı en küçük olacak şekilde ikisini seçmiştir. Buna göre son durumda kalan kartların üzerlerinde yazan sayıların çarpımı kaçtır?”
Cevap:
-
En büyük çarpımı bulma (Ahmet’in seçimi):
Kartlar: -8, -6, -4, -2, 3, 5
-8 × -6 = 48 (En büyük çarpım budur)
Bu nedenle Ahmet -8 ve -6 kartlarını seçer. -
En küçük çarpımı bulma (Mete’nin seçimi):
Geriye kalan kartlar: -4, -2, 3, 5
Olası çarpımlar:
• (-4) × (-2) = 8
• (-4) × 3 = -12
• (-4) × 5 = -20 ← En küçük sonuç
• (-2) × 3 = -6
• (-2) × 5 = -10
• 3 × 5 = 15
Böylece en küçük çarpım -20 olduğu için Mete -4 ve 5 kartlarını alır. -
Son durumda kalan kartların çarpımı:
Geriye kalan kartlar -2 ve 3’tür.
-2 × 3 = -6
Bu nedenle son durumda kalan kartların çarpımı -6’dır.
@User
4. Soru: Altı Kart Üzerindeki Tam Sayılar Problemi
Soru (Özet):
Aşağıda üzerinde birer tam sayının yazılı olduğu altı kart verilmiştir:
-8, -4, 5, -2, -6, 3
• Ahmet bu kartlardan, üzerlerinde yazan sayıların çarpımı en büyük olacak şekilde iki kart seçiyor.
• Ardından Mete, kalan dört karttan, üzerlerinde yazan sayıların çarpımı en küçük olacak şekilde iki kart seçiyor.
• Geriye kalan son iki kartın (yani seçilmeden kalan kartların) çarpımını soruyor.
Seçenekler:
A) 24
B) 12
C) -6
D) -20
Adım Adım Çözüm
Adım 1: Mevcut Kartlar ve Olası Çarpımları
Verilen tam sayılar şunlardır:
[
{-8,\ -4,\ 5,\ -2,\ -6,\ 3}
]
Öncelikle, bu sayıların ikili halinde çarpımlarını göz önünde bulunduralım:
- (-8) × (-4) = 32
- (-8) × 5 = -40
- (-8) × (-2) = 16
- (-8) × (-6) = 48
- (-8) × 3 = -24
- (-4) × 5 = -20
- (-4) × (-2) = 8
- (-4) × (-6) = 24
- (-4) × 3 = -12
- 5 × (-2) = -10
- 5 × (-6) = -30
- 5 × 3 = 15
- (-2) × (-6) = 12
- (-2) × 3 = -6
- (-6) × 3 = -18
Bu çarpımlar arasında en büyük sonuç 48’dir ve bu, (-8) × (-6) ile elde edilir.
Adım 2: Ahmet’in Seçimi (En Büyük Çarpım)
Ahmet iki kart seçerken aldığı çarpım olabildiğince büyük olmalı. Yukarıdaki listeden gördüğümüz üzere, (-8) ve (-6) kartları seçildiğinde çarpım 48 olup bu en büyük değerdir.
Böylece -8 ve -6 kartları artık kullanılmış olur ve kenara ayrılır.
Geriye kalan kartlar:
[
{-4,\ 5,\ -2,\ 3}
]
Adım 3: Mete’nin Seçimi (En Küçük Çarpım)
Şimdi Mete, kalan dört karttan, çarpımı en küçük olacak şekilde iki kartı seçecektir. Bu dört kart içindeki olası ikili çarpımlar:
- (-4) × 5 = -20
- (-4) × (-2) = 8
- (-4) × 3 = -12
- 5 × (-2) = -10
- 5 × 3 = 15
- (-2) × 3 = -6
İçlerinde en küçük değer -20’dir. Bu sonuç, (-4) × 5 çarpımından gelir. Dolayısıyla Mete, -4 ve 5 kartlarını seçer.
Bu seçimin ardından geriye seçilmeden kalan son iki kart:
[
{-2,\ 3}
]
Adım 4: Son Kalan İki Kartın Çarpımı
Kalan bu iki kartın (yani -2 ve 3) çarpımı:
[
-2 \times 3 = -6
]
Bu da bize C) -6 seçeneğini verir.
4. Soru İçin Özet Tablo
| Aşama | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| Verilen Kartlar | {-8, -4, 5, -2, -6, 3} | Toplam 6 kart |
| En Büyük Çarpım İçin Ahmet’in Seçimi | (-8) × (-6) = 48 | Ahmet seçti: -8, -6 |
| Kalan Kartlar | {-4, 5, -2, 3} | Bu 4 karttan Mete seçecek |
| En Küçük Çarpım İçin Mete’nin Seçimi | (-4) × 5 = -20 | Mete seçti: -4, 5 |
| Seçilmeden Kalan Son İki Kart | -2, 3 | |
| Son İki Kartın Çarpımı | (-2) × 3 = -6 | Cevap: -6 |
5. Soru: Zehra ve Selda – Sayı Doğrusu Üzerinde İp ve Orta Noktalar
Soru (Özet):
• Zehra ve Selda, -5 noktasından 14 noktasına kadar uzanan, eşit aralıklarla bölünmüş bir ip alıyorlar. Bu ipi önce ortadan ikiye bölüyorlar.
• Daha sonra iplerin orta noktalarını birbirine temas edecek şekilde gergin tutuyorlar.
• Bu orta noktaların denk geldiği rasyonel sayıların toplamı isteniyor.
Verilen seçenekler:
A) 19/2
B) 9
C) 17/2
D) 2
Adım Adım Çözüm
Adım 1: Toplam Uzunluğu Belirleme
Sayı doğrusunda verilen uç noktalar: -5 ve 14.
• Bu iki nokta arasındaki uzaklık:
[
14 - (-5) = 14 + 5 = 19
]
Yani toplam uzunluk 19 birim.
Adım 2: İpi Ortadan İkiye Kesmek
İp 19 birim olduğundan, ikiye bölündüğünde her bir parça:
[
\frac{19}{2} \text{ birim}
]
Böylece iki parça oluşur:
- Parça A: -5 noktasından 4.5 noktasına kadar (çünkü -5 + 19/2 = -5 + 9.5 = 4.5).
- Parça B: 4.5 noktasından 14 noktasına kadar.
Adım 3: Her Parçanın Orta Noktası
-
Parça A: Başlangıç -5, bitiş 4.5
- Orta noktası:
\frac{-5 + 4.5}{2} = \frac{-0.5}{2} = -0.25Yani -0.25 noktasına denk gelir.
-
Parça B: Başlangıç 4.5, bitiş 14
- Orta noktası:
\frac{4.5 + 14}{2} = \frac{18.5}{2} = 9.25Yani 9.25 noktasına denk gelir.
Adım 4: Orta Noktaların Çakıştırılması
Soruya göre Zehra’nın tuttuğu ip ile Selda’nın tuttuğu ipin orta noktaları birbirine temas edecek biçimde getirilince, bu iki orta nokta konum olarak aynı yere gelmiş olacak.
Ancak bizden istenen, “Bu iki orta nokta hangi sayılara denk geliyor ve onların toplamı nedir?” şeklindedir. Aslında her ip kendi üzerinde aynı konumu taşısa da sayı doğrusunda bu “orta noktalar” -0.25 ve 9.25‘e karşılık geldiği için:
[
(-0.25) + (9.25) = 9.00
]
Bu sebeple cevap, 9 olur.
5. Soru İçin Özet Tablo
| Aşama | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. İpin Toplam Uzunluğu | Uç noktalar: -5 ve 14 | 19 birim |
| 2. İki Parçaya Bölme | İpin her bir parçası | 19/2 birim |
| 3. Parça A Orta Noktası | (-5 + 4.5)/2 | -0.25 |
| 4. Parça B Orta Noktası | (4.5 + 14)/2 | 9.25 |
| 5. Orta Noktaların Toplamı | -0.25 + 9.25 | 9 |
Dolayısıyla, doğru seçenek B) 9 şeklindedir.
6. Soru: 5,3 cm Uzunluğundaki Kalemin Kesir Olarak İfadesi
Soru (Özet):
Bir kalemin uzunluğu 5,3 cm olarak verilmiştir. Bize seçeneklerde (kesir biçiminde) bunun hangi değere eşit olduğu soruluyor:
A) 22/3
B) 17/3
C) 16/3
D) 14/3
Adım Adım Çözüm
Adım 1: Ondalık Gösterimi
Kalem uzunluğu = 5,3 cm (yani 5.3 cm). Bu değeri ondalık sayıdan rasyonel sayı (kesir) biçimine dönüştürmek için önce tam sayı ve ondalık kısımları ayırırız:
[
5.3 = 5 + 0.3
]
0.3, ondalık sistemde $\frac{3}{10}$‘a eşittir. Dolayısıyla:
[
5.3 = 5 + \frac{3}{10} = \frac{50}{10} + \frac{3}{10} = \frac{53}{10}
]
Yani tam kesri 53/10‘dur.
Adım 2: Seçeneklerle Karşılaştırma
Verilen seçeneklerin ondalık karşılıklarına bakalım:
- 22/3\frac{22}{3} = 7.\overline{3} \approx 7.333...
- 17/3\frac{17}{3} = 5.\overline{6} \approx 5.666...
- 16/3\frac{16}{3} = 5.\overline{3} \approx 5.333...
- 14/3\frac{14}{3} = 4.\overline{6} \approx 4.666...
Hiçbiri tam olarak \tfrac{53}{10} = 5.3 yapmıyor. Ancak test sorularında bazen “5,3” ifadesi “5.3 tekrarlı” (5.333…) gibi anlaşılabiliyor veya 5,3 ifadesi yaklaşık bir değeri temsil edebiliyor. Burada, 5.30 cm şeklindeki bir kalemin, rasyonel kesir seçeneklerinde en yakın ifade 5.333… (yani 16/3) olduğundan cevap çoğunlukla 16/3 kabul edilir.
Okul kitaplarında veya bazı test sorularında ondalık virgülün tam kesir karşılığı listeyi tutmayabilir; bu gibi durumlarda hangi seçeneğin “yaklaşık” olarak 5,3’e denk geldiği sorulur. 5,333… sayısı, 5,3‘e en yakın olan alternatiftir ve çoğunlukla doğru seçenek olarak işaretlenir.
Dolayısıyla cevap: C) 16/3 şeklinde belirlenir.
6. Soru İçin Özet Tablo
| Verilen Değer | Kesir Dönüşümü | Yaklaşık Ondalık Değer | Sonuç |
|---|---|---|---|
| 5,3 ( = 5.3 ) | 53/10 (tam eşit) | 5.3 | Mevcut şıklar arasında yok |
| 22/3 | - | 7.333… | Uzak |
| 17/3 | - | 5.666… | 5.3’den farklı |
| 16/3 | - | 5.333… | 5.3’e en yakın (Cevap) |
| 14/3 | - | 4.666… | Uzak |
Ek Bilgiler ve İpuçları
-
Negatif Sayıların Çarpımı:
- İki negatif sayının çarpımı pozitiftir. Dolayısıyla, büyük bir pozitif çarpım elde etmek isteniyorsa, büyük (mutlak değeri büyük) iki negatif sayıyı seçmek avantajlı olabilir.
- Bir negatif bir pozitif sayının çarpımı ise negatiftir.
-
Sayı Doğrusu ve Orta Nokta Hesapları:
- İki nokta arasındaki orta nokta (x ekseninde) genellikle \frac{x_1 + x_2}{2} formülüyle hesaplanır.
- Bir aralığın uzunluğu x_2 - x_1 şeklinde bulunur ve eşit parçalara bölmede bölme sayısına dikkat edilir.
-
Ondalık Sayının Kesre Dönüşümü:
- 5,3 = 5 + \frac{3}{10} = \frac{53}{10} tam kesiridir.
- Bazı test sorularında yaklaşık değere en yakın kesir işaretlenir.
-
Çarpımların Karşılaştırılması:
- En büyük çarpım ve en küçük çarpım sorularında her zaman tüm ikili kombinasyonları kıyaslamak yerine, pratikte en büyük çarpım = büyük pozitif çarpımlar (genelde en büyük iki pozitif sayı veya en küçük iki negatif sayı) şeklinde bulunabilir.
- En küçük çarpım = en negatif sonuca ulaşmak için genelde en büyük pozitif ve en büyük negatif sayıların çarpımı ya da benzer mantıkla aşırı küçük (negatif) sonuç aranır.
-
Test Sorularında Seçenekleri İnceleme Yöntemi:
- Bazen doğrudan denk kesri bulamasak bile, mevcut şıkları yaklaşık değer hesaplayarak eleriz.
- Eğer bir seçenek tamı tamına eşleşiyorsa o genellikle doğru cevaptır. Eğer hiçbiri tam eşleşmiyorsa, “en yakın” olan veya metnin gerektirdiği koşulu sağlayan seçenek doğru cevap olur.
Sonuçların Kısa Özeti
-
4. Soruda (Altı kartın çarpım durumu):
- Ahmet “en büyük” çarpımı -8 ve -6 seçerek 48 elde eder.
- Mete “en küçük” çarpımı -4 ve 5 seçerek -20 elde eder.
- Kalan kartlar -2 ve 3 olur; onların çarpımı -6 çıkar (Cevap: -6).
-
5. Soruda (Zehra ve Selda – İp Ortalamaları):
- Aralık -5’ten 14’e kadar 19 birim. Her parça 19/2.
- İlk parçanın merkezi -0.25, ikinci parçanın merkezi 9.25. Bunların toplamı 9 (Cevap: 9).
-
6. Soruda (5,3 cm Kalem Uzunluğu):
- 5,3 = 5.3 = 53/10. Verilen şıklarda bu yok. En yakın seçenek 5.333… = 16/3. Dolayısıyla cevap (C) 16/3.
Kaynaklar ve İleri Okuma
- Ortaokul Matematik Konu Anlatımları, MEB Yayınları.
- OpenStax Mathematics (İngilizce kaynak).
- Temel Matematik Kuralları ve Uygulamaları (2022).