Soru: Aşağıda üzerlerinde ikişer üslü ifadenin yazılı olduğu iki eş kareye ayrılmış farklı renkteki kartlar verilmiştir. Bu kartların her birindeki iki ifadenin sayı doğrusundaki değerleri bulunup, her renk kendi değeriyle işaretleniyor. Buna göre sayı doğrusu üzerinde işaretlenen hangi renkteki noktalar diğerlerine göre birbirine daha yakındır?
• Mavi kart: “−2²” ve “(−2)²”
• Sarı kart: “(−8)¹” ve “1⁵”
• Yeşil kart: “5⁰” ve “3²”
• Mor kart: “(−1)⁷” ve “2⁻³”
Cevap:
-
Mavi Kart
- “−2²” → Bu ifade çoğunlukla −(2²) şeklinde yorumlanır ve değeri −4 olur.
- “(−2)²” → Bu ifade parantez içindeki −2’nin karesi olarak 4 değerine eşittir.
- Noktalar sayı doğrusunda −4 ve 4’tür. Aralarındaki mesafe: 4 − (−4) = 8.
-
Sarı Kart
- “(−8)¹” → Değeri −8’dir.
- “1⁵” → Herhangi bir sayının 5. kuvveti, 1 için yine 1’dir.
- Noktalar sayı doğrusunda −8 ve 1’dir. Aralarındaki mesafe: 1 − (−8) = 9.
-
Yeşil Kart
- “5⁰” → Her sayının sıfırıncı kuvveti 1 olduğundan değeri 1’dir.
- “3²” → 3’ün karesi 9’dur.
- Noktalar 1 ve 9’dur. Aralarındaki mesafe: 9 − 1 = 8.
-
Mor Kart
- “(−1)⁷” → Negatif bir sayının tek kuvveti negatif kalır, dolayısıyla değeri −1 olur.
- “2⁻³” → 2 üzeri −3, 1 / 2³ = 1/8 yani 0,125.
- Noktalar −1 ve 0,125’tir. Aralarındaki mesafe: 0,125 − (−1) = 1,125.
Bu değerler arasında en küçük mesafe Mor kartın üzerindeki iki nokta arasında (−1 ile 0,125 arası ≈ 1,125) gerçekleşmiştir. Dolayısıyla en yakın noktalar Mor renge aittir.
@username
Buna göre sayı doğrusunda işaretlenen hangi renkteki noktalar diğerlerine göre birbirine daha yakındır?
Cevap:
Bu soruda farklı renklere ayrılmış kartlar üzerindeki ikişer üslü ifadeyi hesaplayarak, sayı doğrusunda bu ifadelerin değeri arasındaki uzaklığı kıyaslamamız isteniyor. Her bir çift ifadenin arasındaki uzaklığı (mutlak fark) hesapladıktan sonra en küçük uzaklığın hangi renkteki kart çiftine ait olduğunu bulacağız. Detaylı adımlar aşağıda verilmiştir.
1. Üslü İfadeler ve Temel Tanımlar
Matematikte üslü ifadeler, bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımını ifade etmek için kullanılır. Örneğin a^n, “a tabanının n üstü” şeklinde okunur ve a sayısının n kez çarpılması anlamına gelir. Eksili tabanlarda ve integral üslerde ise pozitif ve negatif sonuçlar ortaya çıkabilir. Bu soruda hem pozitif hem de negatif tabanlar ve farklı üsler söz konusudur.
1.1. Negatif Tabanın Pozitif Üsle Çarpımı
- Eğer taban negatif ve üst çift ise sonuç pozitif çıkar.
Örneğin:
(-2)^2 = 4 - Eğer taban negatif ve üst tek ise sonuç negatif çıkar.
Örneğin:
(-2)^3 = -8
1.2. Sıfırıncı Kuvvet
Bir sayının sıfırıncı kuvveti (tabanı sıfırdan farklı olmak koşuluyla) her zaman 1’dir.
Örnek:
5^0 = 1
3^0 = 1
1.3. Bir Sayının Birinci Kuvveti
Bir sayının birinci kuvveti, sayının kendisine eşittir. Örnek:
(-8)^1 = -8
2^1 = 2
2. Soruda Verilen Kartlar ve İfadeler
Sorudaki kartlar her birinde ikişer üslü ifade olacak şekilde renklere ayrılmıştır:
-
Mavi kart
- (-2)^2
- (-2)^3
-
Sarı kart
- (-8)^1
- 1^5
-
Yeşil kart
- 5^0
- 3^2
-
Mor kart
- (-1)^7
- (-2)^5
Bu kartlara ait üslü ifadeleri önce ayrı ayrı hesaplayıp sonra sayı doğrusuna yerleştirdiğimizde iki değer arasındaki mesafeyi (mutlak değer farkını) bulacağız. Hangi renk kartın iki noktası birbirine en yakınsa, soru bize bu rengi soruyor.
3. Adım Adım Çözüm
3.1. Mavi Kartın İfadeleri
Mavi kart:
- (-2)^2
- (-2)^3
3.1.1. (-2)^2 Hesaplaması
- Negatif tabanın çift kuvveti → Sonuç pozitif.
(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4
3.1.2. (-2)^3 Hesaplaması
- Negatif tabanın tek kuvveti → Sonuç negatif.
(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8
3.1.3. İki Değer Arasındaki Mesafe
Mavi karttaki iki nokta: 4 ve -8.
Bunların sayı doğrusundaki uzaklığı:
Dolayısıyla mavi kartın iki noktası arasındaki uzaklık 12 birimdir.
3.2. Sarı Kartın İfadeleri
Sarı kart:
- (-8)^1
- 1^5
3.2.1. (-8)^1 Hesaplaması
- Bir sayının birinci kuvveti, sayının kendisine eşittir.
(-8)^1 = -8
3.2.2. 1^5 Hesaplaması
- 1’in her kuvveti 1’e eşittir.
1^5 = 1
3.2.3. İki Değer Arasındaki Mesafe
Sarı karttaki iki nokta: -8 ve 1.
Uzaklık:
Bu durumda sarı kartın iki noktası arasındaki uzaklık 9 birimdir.
3.3. Yeşil Kartın İfadeleri
Yeşil kart:
- 5^0
- 3^2
3.3.1. 5^0 Hesaplaması
- Bir sayının sıfırıncı kuvveti 1’dir (taban 5, 0’dan farklı).
5^0 = 1
3.3.2. 3^2 Hesaplaması
- 3’ün karesi anlamına gelir.
3^2 = 3 \times 3 = 9
3.3.3. İki Değer Arasındaki Mesafe
Yeşil karttaki iki nokta: 1 ve 9.
Uzaklık:
Bu durumda yeşil kartın iki noktası arasındaki uzaklık 8 birimdir.
3.4. Mor Kartın İfadeleri
Mor kart:
- (-1)^7
- (-2)^5
3.4.1. (-1)^7 Hesaplaması
- Negatif tabanın tek kuvveti → Sonuç negatif.
(-1)^7 = -1
3.4.2. (-2)^5 Hesaplaması
- Negatif tabanın tek kuvveti → Sonuç negatif.
(-2)^5 = -32
3.4.3. İki Değer Arasındaki Mesafe
Mor karttaki iki nokta: -1 ve -32.
Uzaklık:
Böylece mor kartın iki noktası arasındaki mesafe 31 birimdir.
4. Uzaklıkların Kıyaslanması
Her renge ait iki nokta arasındaki uzaklıkları özetlemek için aşağıdaki tabloyu kullanabiliriz:
| Kart Rengi | İfadeler | Hesaplanan Değerler | Mesafe |
|---|---|---|---|
| Mavi | (-2)^2,\; (-2)^3 | 4 ve -8 | 12 |
| Sarı | (-8)^1,\; 1^5 | -8 ve 1 | 9 |
| Yeşil | 5^0,\; 3^2 | 1 ve 9 | 8 |
| Mor | (-1)^7,\; (-2)^5 | -1 ve -32 | 31 |
Tablodan görüleceği gibi:
- Mavi kart (4 ile -8) → 12
- Sarı kart (-8 ile 1) → 9
- Yeşil kart (1 ile 9) → 8
- Mor kart (-1 ile -32) → 31
En küçük mesafe 8 olup yeşil karta aittir.
5. Sonuç
Sayı doğrusunda işaretlenen renkli kartlar içerisinden, iki nokta arasındaki mesafe en küçük olan, yeşil renkteki karttaki ifadelerdir. Soru seçeneklerinde de C) Yeşil olarak ifade edilmiştir. Dolayısıyla cevap:
“C) Yeşil”.
6. Konunun Daha İyi Anlaşılması İçin Ek Bilgiler (Üs Alma ve Sayı Doğrusu)
Öğrencilerin bu tip sorularda dikkat etmesi gereken bazı noktalar vardır:
- Negatif kaynaklı işaret değişiklikleri: Üs tek olduğunda taban negatif kalır, üst çift olduğunda taban pozitif çıkar. Tabanın dışındaki eksi ile tabanın içinde yer alan eksi karıştırılmamalıdır. Örneğin:
- -2^2 (burada üs sadece 2’ye uygulanır, sonuç -(2^2)=-4) ile (-2)^2 (burada eksi 2 tümüyle üsse tabidir, sonuç 4) farklı ifadelerdir.
- Sayı doğrusunda uzaklık: İki sayının arasındaki uzaklık, sayılardan birini diğerine çıkarıp alınan mutlak değerdir. Dolayısıyla negatif-pozitif ayrımı yapmadan sonuca bakılır.
- Sıfırıncı kuvvet: 0 hariç her sayı, sıfırıncı kuvvetinde daima 1’e eşittir.
- Birinci kuvvet: Herhangi bir sayının birinci kuvveti, sayının kendisidir.
- Üsleri hesaplama sırası: Parantez içindeki olumsuzluk (eksi) üssün tamamına etki eder. Eğer parantez olmazsa, önce üs alınır, ardından eksi işareti önde kalır.
7. Geniş Bir Bakış: Üslü Sayılarda Sık Yapılan Hatalar
- Parantez kullanımı: (-3)^2 = 9 iken -3^2 = -9 olması; bu detay, özellikle test sorularında çokça karıştırılır.
- Sıfırın farklı güçlere yükseltilmesi: 0^a (eğer a>0 ise 0, a=0 ise tanımsız), fakat a^0 = 1 (a≠0).
- Negatif sayının sıfırıncı kuvveti: (-a)^0 = 1 (a≠0).
- İşaret farkı: Çift kuvvet+negatif taban → (+) sonuç, Tek kuvvet+negatif taban → (−) sonuç.
Bu konulara hakim olup soru çözerken dikkat edilmesi, hatalı sonuçların önüne geçer.
8. Soru Tarzının Kazanımları
Bu tip sorular, yalnızca üslü ifadeler hesaplamayı değil, aynı zamanda sonucu sayı doğrusunda konumlandırmayı ve sayısal kıyaslama yapmayı da hedefler. Öğrenciler pratik yaparak:
- Negatif tabanlı üslü ifade değerlerini hızlıca hesaplamayı,
- Pozitif tabanlı ya da 1, 0 gibi özel durumları (küçük ve kolay tabanları) kavramayı,
- Bu değerleri birbiriyle kıyaslamayı,
- Sonuçları sayı doğrusunda doğru biçimde konumlandırmayı
öğrenmiş olurlar.
9. Üslü İfadeleri Kullanarak Daha İleri Problemler
- Polinom Soruları: Bir polinomun köklerini üslü ifadelerle ifade etmek, ya da üslü fonksiyonları çarpanlarına ayırma.
- Logaritma ve Üs İlişkisi: Üslü ifade ile logaritma tabanı arasındaki ilişkileri çözmek.
- Üslü Denklemler: 2^x = 8 gibi denklemleri gerçek sayılar kümesinde çözmek (bu soruda x=3 elde edilir).
Bu konular, üslü sayıların ne kadar geniş bir kullanım alanına sahip olduğunu göstermektedir.
10. Detaylı Örnekler ve Ek Açıklamalar
10.1. Farklı Örnek Soru
Soru:
Aşağıdaki ifadelerin her birini hesaplayınız ve büyükten küçüğe sıralayınız:
- (-3)^2
- (-3)^3
- 1^5
- 2^0
Çözüm:
- (-3)^2 = 9
- (-3)^3 = -27
- 1^5 = 1
- 2^0 = 1
Büyükten küçüğe sıralama:
$$9 ;>; 1 ;=; 1 ;>; -27$$
Burada 1^5 = 1 ve 2^0 = 1 eşit çıktılar.
10.2. Sayı Doğrusu Yorumlama
Bir sayı doğrusunda negatif sayılar sıfırın sol tarafında, pozitif sayılar sıfırın sağ tarafında yer alır. Sıfırdan uzaklaştıkça sayının mutlak değeri artar. Bu basit görsel düşünce, birçok uzaklık probleminin kolaylıkla çözülmesini sağlar.
11. Sınavlarda ve Testlerde Başarı İçin İpuçları
- Hızlı hesap yapabilmek: Üslü sayıları sık pratik ederek çabucak hesaplamak.
- İşaretlere dikkat etmek: Parantez var mı, üs tek mi, çift mi gibi noktaları kontrol etmek.
- Doğru karşılaştırma ve mutlak değer kullanımı:
- İki nokta arasındaki uzaklık = \lvert x_1 - x_2 \rvert.
- Sayının yönü değil, farkın büyüklüğü önemlidir.
- Zaman yönetimi: Bu tür kısa hesap sorunlarında gereksiz vakit kaybetmemek için temel kuralları iyi bilmek.
12. Özet Tablo
Aşağıda, sorunun asıl cevabını ve her renge ait mesafeyi bir kez daha özetleyen bir tablo verilmiştir:
| Kart Rengi | İfadeler | Değerler | Uzaklık (Mesafe) | En Yakın mı? |
|---|---|---|---|---|
| Mavi | (-2)^2,\; (-2)^3 | 4,; -8 | 12 | Hayır (12 > 8) |
| Sarı | (-8)^1,\; 1^5 | -8,; 1 | 9 | Hayır (9 > 8) |
| Yeşil | 5^0,\; 3^2 | 1,; 9 | 8 | Evet (En küçük mesafe 8) |
| Mor | (-1)^7,\; (-2)^5 | -1,; -32 | 31 | Hayır (31 > 8) |
Buradan görüldüğü üzere, yeşil kartın iki ifadesi arasındaki mesafe diğerlerine göre en küçüktür.
13. Sonuç ve Kısa Özet
- Mavi karttaki noktalar (4 ve -8) → Uzaklık = 12
- Sarı karttaki noktalar (-8 ve 1) → Uzaklık = 9
- Yeşil karttaki noktalar (1 ve 9) → Uzaklık = 8
- Mor karttaki noktalar (-1 ve -32) → Uzaklık = 31
Dolayısıyla, en küçük mesafe 8 olup, bu sonuç Yeşil (C) seçeneğinin doğru olduğunu göstermektedir.
Kaynaklar:
- MEB Ortaokul Matematik Ders Kitabı (2021)
- OpenStax, “Intermediate Algebra” (2022)