Doğrusal bir yolda durgun hâlden harekete geçen K ve L araçlarına ait ivme-zaman grafikleri yukarıdaki gibidir. K ve L araçlarının (0-4) s zaman aralığında aldıkları yollar sırasıyla xₖ ve xₗ olduğuna göre, xₖ/xₗ oranı kaçtır?
Cevap:
Bu problem, ivme-zaman grafiklerinden yola çıkarak K ve L araçlarının aldığı yolları karşılaştırmak için kullanılabilir. Hareket problemlerinde ivme, hızın zamanla değişimini ifade eder. Dolayısıyla, hız zaman grafiğine ulaşmak için ivmeyi zamana göre integre ederek hızı buluruz. Daha sonra hızı zamana göre integre ederek de alınan yolu hesaplarız.
Adımlar:
-
K Aracı İçin:
- İvme zaman grafiğinde 0-4 saniye aralığında ivme sabit ve 5 m/s²’dir.
- Hızı bulmak için, ivmeyi zamana göre integre ederiz:
- İlk hız: v_0 = 0 (durduğundan)
- v(t) = \int_0^t 5\, dt = 5t
- 4 saniye sonunda hız:
- v(4) = 5 \times 4 = 20 m/s
- Alınan yolu bulmak için, hızı zamana göre integre ederiz:
- x_k(t) = \int_0^t 5t\, dt = \frac{5}{2} t^2 + C
- C = 0 olduğundan: x_k(4) = \frac{5}{2} (4)^2 = 40 m
-
L Aracı İçin:
- İvme zaman grafiğinde 0-4 saniye aralığında ivme sabit ve 2,5 m/s²’dir.
- Hızı bulmak için, ivmeyi zamana göre integre ederiz:
- İlk hız: v_0 = 0
- v(t) = \int_0^t 2.5\, dt = 2.5t
- 4 saniye sonunda hız:
- v(4) = 2.5 \times 4 = 10 m/s
- Alınan yolu bulmak için, hızı zamana göre integre ederiz:
- x_l(t) = \int_0^t 2.5t\, dt = \frac{2.5}{2} t^2 + C
- C = 0 olduğundan: x_l(4) = \frac{2.5}{2} (4)^2 = 20 m
-
Oran:
- x_k/x_l = 40/20 = 2
Sonuç:
K ve L araçlarının 0-4 saniye aralığında aldığı yolların oranı, $\frac{x_k}{x_l} = 2$’dir. Bu durumda doğru cevap D şıkkı: 2 olacaktır.