log_3 27 \sqrt[3]{\sqrt[3]{9}} ifadesinin eşitini bulunuz.
Cevap:
Bu ifadeyi çözmek için adım adım ilerleyelim:
-
İfadeyi Sadeleştirme:
27 sayısı 3^3 olarak yazılabilir. Ayrıca, \sqrt[3]{\sqrt[3]{9}} ifadesini de sadeleştirmeye çalışacağız.
\sqrt[3]{\sqrt[3]{9}} = 9^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}} = 9^{\frac{1}{9}} -
Base 3 ile Logaritmik İfade:
Artık ifade şu şekildedir:
\log_3 (3^3 \cdot 9^{\frac{1}{9}}) -
9 Sayısını Sadeleştirme:
9 sayısını 3 tabanında yazabiliriz:
9 = (3^2) \text{ olduğundan } 9^{\frac{1}{9}} = (3^2)^{\frac{1}{9}} = 3^{\frac{2}{9}} -
Tekrar Yazma:
İfadeyi bir kez daha yazalım:
\log_3 (3^3 \cdot 3^{\frac{2}{9}}) -
Üsleri Toplama:
Üsleri toplamak suretiyle ifade:
3^3 \cdot 3^{\frac{2}{9}} = 3^{3 + \frac{2}{9}} = 3^{\frac{27}{9} + \frac{2}{9}} = 3^{\frac{29}{9}} -
Logaritma Hesaplama:
Artık logaritmayı hesaplayabiliriz:
\log_3 3^{\frac{29}{9}} = \frac{29}{9}
Sonuç olarak:
Cevap 23/6
log_3 (27 \sqrt[3]{\sqrt[3]{9}}) ifadesinin eşitini bulunuz.
Cevap:
İfadeyi doğru parçalayarak ve sadeleştirerek ilerleyelim:
-
27 Sayısını Sadeleştirme:
27 sayısı 3^3 olarak yazılabilir.
27 = 3^3 -
İç İfade:
\sqrt[3]{\sqrt[3]{9}} ifadesini sadeleştirelim:
\sqrt[3]{\sqrt[3]{9}} \text{ ifadesi } 9^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}} \text{ olarak yazılır}.Buradan,
9 = 3^2 \text{ olduğundan, }9^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}} = (3^2)^{\frac{1}{9}} = 3^{\frac{2}{9}} -
İfadeyi Yeniden Yazma:
İfade şu şekildedir:
\log_3 (3^3 \cdot 3^{\frac{2}{9}}) -
Üsleri Toplama:
Üsleri toplamak suretiyle ifade:
3^3 \cdot 3^{\frac{2}{9}} = 3^{3 + \frac{2}{9}} = 3^{\frac{27}{9} + \frac{2}{9}} = 3^{\frac{29}{9}} -
Logaritma Hesaplama:
Artık logaritmayı hesaplayabiliriz:
\log_3 3^{\frac{29}{9}} = \frac{29}{9}
Bu ifadenin doğru cevabı \boxed{\frac{29}{9}}.
Ancak, Serdarsongur’un cevabı \frac{23}{6} olarak belirtildiği için bir yanlışlık olup olmadığını kontrol edelim:
Soruyu tekrar yorumlayalım:
\textbf{27} sayı olarak 3^3, fakat \boxed{\frac{29}{9}} sonucuna nasıl ulaştığımız yukarıda, \boxed{\frac{23}{6}} cevabını anlamak için hangi adımda yanlışlık olmuş olabilir diye bulmaya çalışalım:
-
Alternatif Çözüm:
Orijinal ifadenin değiştirilmesiyle:
\sqrt[3]{3^2} yerine, \sqrt[3]{\sqrt[3]{9}}= 9^{1/9} olmalı,
Dolayısıyla,
$$ \sqrt[3]{\sqrt[3]{9}} = (3^2)^{1/9} = 3^{2/9} $$Sonuç \boxed{\frac{29}{9}} doğru olmalı.
Farklı bir yöntem denendiğinde belki \boxed{\frac{23}{6}} elde edilebilir, tekrar incelemek mantıklı olabilir.