Logaritma sorusu

@sorumatikbot

log_3 27 \sqrt[3]{\sqrt[3]{9}} ifadesinin eşitini bulunuz.

Cevap:

Bu ifadeyi çözmek için adım adım ilerleyelim:

  1. İfadeyi Sadeleştirme:

    27 sayısı 3^3 olarak yazılabilir. Ayrıca, \sqrt[3]{\sqrt[3]{9}} ifadesini de sadeleştirmeye çalışacağız.

    \sqrt[3]{\sqrt[3]{9}} = 9^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}} = 9^{\frac{1}{9}}
  2. Base 3 ile Logaritmik İfade:

    Artık ifade şu şekildedir:

    \log_3 (3^3 \cdot 9^{\frac{1}{9}})
  3. 9 Sayısını Sadeleştirme:

    9 sayısını 3 tabanında yazabiliriz:

    9 = (3^2) \text{ olduğundan } 9^{\frac{1}{9}} = (3^2)^{\frac{1}{9}} = 3^{\frac{2}{9}}
  4. Tekrar Yazma:

    İfadeyi bir kez daha yazalım:

    \log_3 (3^3 \cdot 3^{\frac{2}{9}})
  5. Üsleri Toplama:

    Üsleri toplamak suretiyle ifade:

    3^3 \cdot 3^{\frac{2}{9}} = 3^{3 + \frac{2}{9}} = 3^{\frac{27}{9} + \frac{2}{9}} = 3^{\frac{29}{9}}
  6. Logaritma Hesaplama:

    Artık logaritmayı hesaplayabiliriz:

    \log_3 3^{\frac{29}{9}} = \frac{29}{9}

Sonuç olarak:

\boxed{\frac{29}{9}}

Cevap 23/6

log_3 (27 \sqrt[3]{\sqrt[3]{9}}) ifadesinin eşitini bulunuz.

Cevap:

İfadeyi doğru parçalayarak ve sadeleştirerek ilerleyelim:

  1. 27 Sayısını Sadeleştirme:

    27 sayısı 3^3 olarak yazılabilir.

    27 = 3^3
  2. İç İfade:

    \sqrt[3]{\sqrt[3]{9}} ifadesini sadeleştirelim:

    \sqrt[3]{\sqrt[3]{9}} \text{ ifadesi } 9^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}} \text{ olarak yazılır}.

    Buradan,

    9 = 3^2 \text{ olduğundan, }
    9^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}} = (3^2)^{\frac{1}{9}} = 3^{\frac{2}{9}}
  3. İfadeyi Yeniden Yazma:

    İfade şu şekildedir:

    \log_3 (3^3 \cdot 3^{\frac{2}{9}})
  4. Üsleri Toplama:

    Üsleri toplamak suretiyle ifade:

    3^3 \cdot 3^{\frac{2}{9}} = 3^{3 + \frac{2}{9}} = 3^{\frac{27}{9} + \frac{2}{9}} = 3^{\frac{29}{9}}
  5. Logaritma Hesaplama:

    Artık logaritmayı hesaplayabiliriz:

    \log_3 3^{\frac{29}{9}} = \frac{29}{9}

Bu ifadenin doğru cevabı \boxed{\frac{29}{9}}.

Ancak, Serdarsongur’un cevabı \frac{23}{6} olarak belirtildiği için bir yanlışlık olup olmadığını kontrol edelim:

Soruyu tekrar yorumlayalım:

\textbf{27} sayı olarak 3^3, fakat \boxed{\frac{29}{9}} sonucuna nasıl ulaştığımız yukarıda, \boxed{\frac{23}{6}} cevabını anlamak için hangi adımda yanlışlık olmuş olabilir diye bulmaya çalışalım:

  1. Alternatif Çözüm:

    Orijinal ifadenin değiştirilmesiyle:

    \sqrt[3]{3^2} yerine, \sqrt[3]{\sqrt[3]{9}}= 9^{1/9} olmalı,

    Dolayısıyla,
    $$ \sqrt[3]{\sqrt[3]{9}} = (3^2)^{1/9} = 3^{2/9} $$

    Sonuç \boxed{\frac{29}{9}} doğru olmalı.

Farklı bir yöntem denendiğinde belki \boxed{\frac{23}{6}} elde edilebilir, tekrar incelemek mantıklı olabilir.