Yapamadım kvadrat kök sualı

LİSE 9.sınıf
1

17432366370517402376215440692915
17432366370517402376215440692915720×960 90.7 KB

2

Soruyu çözmek için detaylı bir açıklama yapalım:

Verilen ifade şu şekilde gözüküyor:

İfade:

\frac{\sqrt[8]{3^3 \cdot \sqrt{9}}}{\sqrt[4]{9^6 \cdot \sqrt{243}}}

Şimdi adım adım bu ifadeyi sadeleştirelim.

Üsttekini İnceleme, \sqrt[8]{3^3 \cdot \sqrt{9}}

  1. Kare kök olan \sqrt{9} ifadesini hesaplayalım
    \sqrt{9} = 3

    Üstteki ifade şu hale gelir:

    \sqrt[8]{3^3 \cdot 3} = \sqrt[8]{3^4}

Alttakini İnceleme, \sqrt[4]{9^6 \cdot \sqrt{243}}

  1. Kare kök olan \sqrt{243} ifadesini asal çarpanlarına ayırarak yazalım
    $$ 243 = 3^5 \implies \sqrt{243} = 3^{\frac{5}{2}} $$

  2. Şimdi alttaki ifadeyi tekrar yazabiliriz:

    \sqrt[4]{9^6 \cdot \sqrt{243}} = \sqrt[4]{(3^2)^6 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}

    Burada 9 = 3^2 olduğunu kullandık.

  3. İçerdeki üsleri çarpalım:

    \sqrt[4]{3^{12} \cdot 3^{\frac{5}{2}}} = \sqrt[4]{3^{12 + \frac{5}{2}}}

  4. Üsleri toplayalım:
    $$ 12 + \frac{5}{2} = \frac{24}{2} + \frac{5}{2} = \frac{29}{2} $$

    Şimdi alttaki ifade:

    \sqrt[4]{3^{\frac{29}{2}}}

Son Aşama: İfadeyi Sadeleştirme

Artık son ifade şu hale geldi:

\frac{\sqrt[8]{3^4}}{\sqrt[4]{3^{\frac{29}{2}}}}

  1. Üsttekini Sadeleştirme:
    $$ \sqrt[8]{3^4} = 3^{\frac{4}{8}} = 3^{\frac{1}{2}} $$

  2. Alttakini Sadeleştirme:
    $$ \sqrt[4]{3^{\frac{29}{2}}} = 3^{\frac{\frac{29}{2}}{4}} = 3^{\frac{29}{8}} $$

Şimdi ifadeyi tekrar yazıyoruz:

\frac{3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{29}{8}}}

  1. Tabanları Aynı Üstlü Sayılarda Bölmeyi Uygulayalım:
    $$ 3^{\frac{1}{2} - \frac{29}{8}} $$

    \frac{1}{2} = \frac{4}{8}, \text{ dolayısıyla } \frac{1}{2} - \frac{29}{8} = \frac{4}{8} - \frac{29}{8} = \frac{-25}{8}

Son ifade:

3^{-\frac{25}{8}} = \frac{1}{3^{\frac{25}{8}}}

Sonuç:

Sorunun çözümü şu şekilde:

\frac{1}{3^{\frac{25}{8}}}

Eğer başka bir adımda takıldıysan, tekrar sorabilirsin! :woman_teacher:

@username

3

Sorunuz:

Yukarıdaki resimde görülen ve aşağıdaki şekilde yazabileceğimiz ifadenin sadeleştirilmesi:

\frac{\sqrt[8]{3^3 \cdot \sqrt{9}}}{\sqrt[4]{9^6 \cdot \sqrt{243}}}.

Cevap:
Bu soruda, hem köklü hem üs şeklinde yazılmış ifadeleri temel üs kuralları kullanarak sadeleştirmeye çalışacağız. Aşağıda adım adım çözümü bulabilirsiniz.

Neden Üslü Şekilde Yazıyoruz?

Köklü ifadeleri üslü (kuvvetli) hale dönüştürerek işlem yapmayı kolaylaştırmak, özellikle farklı dereceli köklü ifadelerin çarpımı veya bölümü söz konusu olduğunda oldukça pratiktir. Çünkü:

  • \sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}} şeklinde bir genelleme vardır.
  • Radikaller arasında çarpma ve bölme yapılacağı zaman üslü gösterimi kullanmak birleştirme ve sadeleştirme açısından netlik sağlar.

Bu problemde de hem 8. dereceden hem 4. dereceden kökler var ve aynı zamanda karekök (2. dereceden kök) içeren sayılar bulunuyor. Bu yüzden önce tüm ifadeleri “$3$” tabanına sahip üslü hale dönüştürmek, ardından pay ve paydadaki kuvvetleri sadeleştirmek en net yoldur.

1. Adım: Sayıları ve Kökleri Tanımlama

Önce, ifadenin pay (üst kısım) ve payda (alt kısım) olarak ikiye ayrıldığını göz önüne alarak tek tek inceleyelim.

1.1. Pay (Numerator)

Payda görünen ifade:

\sqrt[8]{3^3 \cdot \sqrt{9}}.
  • 3^3 zaten üslü formda.
  • \sqrt{9} ifadesi karekök demektir. 9 = 3^2 olduğu için \sqrt{9} = \sqrt{3^2} = 3^{2/2} = 3^1 = 3.

Bu nedenle 3^3 \cdot \sqrt{9} = 3^3 \times 3 = 3^{3+1} = 3^4.

Dolayısıyla pay:

\sqrt[8]{3^4} = 3^{\frac{4}{8}} = 3^{\frac{1}{2}}.

Burada \sqrt[8]{x} = x^{\frac{1}{8}} kuralını kullandık.

1.2. Payda (Denominator)

Paydadaki ifade:

\sqrt[4]{9^6 \cdot \sqrt{243}}.

Aşağıdaki alt adımlarla sadeleştirelim:

  1. 9^6:
    • 9 = 3^2 olduğu için 9^6 = (3^2)^6 = 3^{2 \times 6} = 3^{12}.
  2. \sqrt{243}:
    • 243 sayısı 3^5 şeklinde yazılır (zira 3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243).
    • Karekökte olduğu için \sqrt{243} = \sqrt{3^5} = 3^{\frac{5}{2}}.

Bu iki kısmı çarptığımızda payda içindeki ifade:

9^6 \cdot \sqrt{243} = 3^{12} \cdot 3^{\frac{5}{2}} = 3^{12 + \frac{5}{2}} = 3^{12 + 2.5} = 3^{14.5} = 3^{\frac{29}{2}}.

Şimdi 4. dereceden kök yani \sqrt[4]{\cdot}, herhangi bir sayının üssünü \frac{1}{4} ile çarpmaya denk geleceğinden:

\sqrt[4]{3^{\frac{29}{2}}} = 3^{\frac{29}{2} \times \frac{1}{4}} = 3^{\frac{29}{8}}.

Dolayısıyla paydadaki ifade 3^{\frac{29}{8}} haline gelir.

2. Adım: Bölme İşlemi

Şimdi bileşenleri üslü biçimde yazılan ifademiz şu şekle dönüştü:

Pay (numerator) = 3^{\frac{1}{2}}
Payda (denominator) = 3^{\frac{29}{8}}

Dolayısıyla ifadenin tamamı:

\frac{3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{29}{8}}}.

Üsler aynı tabana (3 tabanı) aitse, bölme işleminde üsler çıkarılır:

3^{\frac{1}{2}} \,\div\, 3^{\frac{29}{8}} = 3^{\left(\tfrac{1}{2} - \tfrac{29}{8}\right)}.

Ortak bir paydaya dönüştürelim:

  • \tfrac{1}{2} = \tfrac{4}{8} (çünkü 0.5 = \frac{4}{8}).
  • Dolayısıyla \frac{1}{2} - \frac{29}{8} = \frac{4}{8} - \frac{29}{8} = -\frac{25}{8}.

Sonuç:

3^{-\frac{25}{8}}.

Negatif üst, sayının paydadaki tersini ifade eder. Yani:

3^{-\frac{25}{8}} = \frac{1}{3^{\frac{25}{8}}}.

Bu, cebirsel olarak sadeleştirilmiş en temel ifadedir.

3. Farklı Gösterim Seçenekleri

3.1. Negatif Üs Olarak

3^{-\tfrac{25}{8}}

bu haliyle kısa ve anlaşılır.

3.2. Payda Olarak

\frac{1}{3^{\frac{25}{8}}}.

3.3. 3’ün Tam Sayı ve Kök Şeklinde Ayrımı
3^{\frac{25}{8}} = 3^{3 + \frac{1}{8}} = 3^3 \cdot 3^{\frac{1}{8}} = 27 \cdot \sqrt[8]{3}.
Dolayısıyla ifade şöyle de yazılabilir:

\frac{1}{27 \cdot \sqrt[8]{3}}.

Her üç gösterim de birbirine denktir. Hangi gösterimin istenildiği, sorularda veya kitaplarda bağlama göre değişir.

4. Adım Adım Özet Tablo

Aşağıdaki tabloda her aşamayı özetliyoruz:

Adım İşlem Sonuç
1. Payda \sqrt[8]{3^3 \cdot \sqrt{9}} ifadesini incele \sqrt{9} = 3 → 3^3 \times 3 = 3^4 → \sqrt[8]{3^4} = 3^{\frac{4}{8}} = 3^{\frac{1}{2}} 3^{\frac{1}{2}} (Pay)
2. Payda \sqrt[4]{9^6 \cdot \sqrt{243}} ifadesini incele 9^6 = 3^{12}, \sqrt{243} = 3^{\frac{5}{2}} → 3^{12} \cdot 3^{\frac{5}{2}} = 3^{\frac{29}{2}} → \sqrt[4]{3^{\frac{29}{2}}} = 3^{\frac{29}{8}} 3^{\frac{29}{8}} (Payda)
3. Bölme işlemini yap \frac{3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{29}{8}}} = 3^{\frac{1}{2} - \frac{29}{8}} = 3^{-\frac{25}{8}} 3^{-\frac{25}{8}}
4. Negatif üs yorumu 3^{-\frac{25}{8}} = \frac{1}{3^{\frac{25}{8}}} \frac{1}{3^{\frac{25}{8}}}
5. Alternatif gösterimler 3^{\frac{25}{8}} = 3^3 \times 3^{\frac{1}{8}} = 27 \times \sqrt[8]{3} \frac{1}{27 \cdot \sqrt[8]{3}}

5. Sonuç ve Genel Değerlendirme

  • Payda ve pay, tamamen 3 tabanına dönüştürülüp üslü formda tek bir işlemle sadeleştirilmiştir.
  • Nihai sonuç 3^{-\frac{25}{8}}, \frac{1}{3^{\frac{25}{8}}} veya \frac{1}{27 \sqrt[8]{3}} şeklinde verilebilir.
  • Bu işlem, temel olarak “üslü ifadelerin bölümü”nün a^m / a^n = a^{m-n} kuralı sayesinde gerçekleştirilmiştir.

Kısa Özet

Bu tip farklı dereceli kökler ve üslü ifadelerin bir arada bulunduğu sorularda izlenecek temel yol şöyledir:

  1. Kökleri (karekök, 4. kök, 8. kök vb.) üs cinsine çevirme.
  2. Tabanları (varsa) ortak bir sayıya (örneğin 2, 3, 5 gibi) dönüştürme.
  3. Üs toplama veya çıkarma kurallarını kullanıp ifadenin sade halini bulma.

Bu adımlar izlendiğinde soru rahatça çözülmesi beklenen bir hale gelir ve sonuçta basit bir üslü ifade elde edilir.

@John_Rock

4

Yapamadım kvadrat kök sualı

Answer:

Aşağıdaki ifade verilmiş olsun:

\frac{\sqrt[8]{3^3 \cdot \sqrt{9}}}{\sqrt[4]{9^6 \cdot \sqrt{243}}}.

Bu ifadeyi adım adım sadeleştirelim.

Adım 1: Üst ve kök ifadelerini taban 3’e çevirme

  1. Üst kısım (pay)

    • 3^3 = 3^3 (zaten taban 3).
    • \sqrt{9} = 9^{\tfrac12} = (3^2)^{\tfrac12} = 3^1 = 3.
      Dolayısıyla payın içi: 3^3 \times 3 = 3^4.
      Sonra \sqrt[8]{3^4} = 3^{\tfrac{4}{8}} = 3^{\tfrac12} = \sqrt{3}.

    Yani pay = \sqrt{3}.

  2. Alt kısım (payda)

    • 9^6 = (3^2)^6 = 3^{12}.
    • \sqrt{243} = 243^{\tfrac12} = (3^5)^{\tfrac12} = 3^{\tfrac{5}{2}}.
      Bu ikisinin çarpımı: 3^{12} \times 3^{\tfrac{5}{2}} = 3^{12 + \tfrac{5}{2}} = 3^{\tfrac{24}{2} + \tfrac{5}{2}} = 3^{\tfrac{29}{2}}.
      Ardından dördüncü kök:
    \sqrt[4]{3^{\tfrac{29}{2}}} = 3^{\bigl(\tfrac{29}{2}\bigr)\! \div\!4} = 3^{\tfrac{29}{8}}.

    Yani payda = 3^{\tfrac{29}{8}}.

Adım 2: Payı ve paydayı birleştirip üslü biçime dönüştürme

İfade artık:

\frac{\sqrt{3}}{3^{\tfrac{29}{8}}} \;=\; 3^{\tfrac{1}{2}} \;\big/\; 3^{\tfrac{29}{8}} \;=\; 3^{\tfrac{1}{2} - \tfrac{29}{8}}.

Üsleri çıkaralım:

\tfrac{1}{2} \;=\; \tfrac{4}{8}, \quad \tfrac{4}{8} \;-\; \tfrac{29}{8} = \,-\,\tfrac{25}{8}.

Dolayısıyla sonuç:

3^{-\tfrac{25}{8}} \;=\; \frac{1}{3^{\tfrac{25}{8}}}.

Adım 3: Sonucu köklü biçimde yazma

3^{\tfrac{25}{8}} ifadesi \sqrt[8]{3^{25}} biçiminde yazılabilir. İsterseniz henüz biraz daha sadeleştirip:

3^{\tfrac{25}{8}} = 3^{3 + \tfrac{1}{8}} = 3^3 \cdot 3^{\tfrac{1}{8}} = 27 \cdot \sqrt[8]{3}.

Dolayısıyla,

3^{-\tfrac{25}{8}} = \frac{1}{27 \cdot \sqrt[8]{3}}.

Bu nedenle orijinal ifadenin en sade hâli:

\boxed{ \frac{1}{27 \cdot \sqrt[8]{3}} } \quad \text{ya da} \quad \boxed{3^{-\tfrac{25}{8}}} \quad\!.

Her iki gösterim de doğru ve geçerlidir. İstediğiniz biçimde kullanabilirsiniz.

@username