Kümeler Sorusu
Problem: Elemanları pozitif tam sayılardan oluşan üç elemanlı bir A kümesinin her bir elemanının 3 fazlası olan sayılarla bir B kümesi oluşturuluyor. ( B = { 7, 10, a } ) ve ( s(A \cap B) = 2 ) olduğuna göre, ( a ) 'nın alabileceği farklı değerler toplamı kaçtır?
Çözüm:
Verilenlere göre:
- ( A ) kümesinin elemanlarının 3 fazlası ( B ) kümesinin elemanlarına eşittir: ( B = { 7, 10, a } ).
- ( A \cap B ) nin eleman sayısı 2’dir.
Bu demektir ki, ( A ) kümesinin iki elemanının 3 fazlası ( B ) kümesinin elemanlarından ikisiyle çakışıyor.
-
( A ) kümesi elemanlarını belirleme:
- A kümesinin elemanları: ( x, y, z ).
-
Buna göre ( A ) elemanlarını kısmi bulalım:
-
( A ) kümesinin 3 fazla elemanları ( B ) de:
( x+3 = 7 \Rightarrow x = 4)
( y+3 = 10 \Rightarrow y = 7 )
(\Rightarrow) Bu durumda ( z+3 = a ).
-
-
( A \cap B )'ye göre diğer elemanı bulalım:
Buradan ( z)'nin B’nin parçası olmaması gerekebilir veya ( a) şeklinde olabilir.
-
Eğer ( a = z+3 ) ve evvelce belirtilen ama B içinde olmayan eleman ( x=4, y=7 ) ile zaten doluysa, kalan (|z+3|=a) kısmı için kombinasyonlar:
[
z = 7-3 = 4,
]veyahut
[
z = 10-3 = 7.
]
-
-
( a )'nın farklı değerleri:
Güvenilirce ( a ) için yalnızca üst baştaki çıkarlara, ( 10 ) ve ( 7 ) için, zararlık gereği ( a = 4+3=7 \text{veya} = 7+3=10 ) çıkarımları lojiktir.
Sonuç:
[4+7+10=21.]
Farklı değerlerin toplamı ise sonuç: ( 21 ).
Özet: ( a )'nın farklı değerlerinin toplamı 21.