Bir kutuda 2’den 5’e kadar rakamlarla numaralandırılmış dört kart vardır. Yusuf, aşağıdaki adımları takip ederek iki basamaklı bir sayı oluşturuyor.
Adım 1: Kutudan bir kart çekiyor ve karttaki rakam çift ise bu sayıyı onlar basamağına yazıyor ve kartı kutuya geri atıyor, tek ise bu sayıyı birler basamağına yazıyor ve kartı kutuya geri atmıyor. Daha sonra 2. adıma geçiyor.
Adım 2: Kutudan ikinci kartı çekiyor ve karttaki rakamı boş kalan basamağa yazıyor.
Buna göre, Yusuf’un oluşturduğu sayının asal olma olasılığı kaçtır?
Çözüm:
Öncelikle kutudaki kartlar: 2, 3, 4 ve 5’tir.
- Adım 1:
- Çift rakamlar: 2 ve 4
- Tek rakamlar: 3 ve 5
Eğer Yusuf çift bir rakam çekerse (2 veya 4), bu rakam onlar basamağına yazılır ve kart kutuya geri atılır. Eğer tek rakam çekerse (3 veya 5), bu rakam birler basamağına yazılır ve kart kutuya geri atılmaz.
- Adım 2:
- İlk çekilen kart çift ise, ikinci kart tekrar 2, 3, 4 veya 5 olabilir.
- İlk çekilen kart tek ise, ikinci kart 2, 4 veya diğer tek rakam (ilk çekilen tek rakam hariç) olabilir.
Oluşabilecek Sayılar ve Asallık Kontrolü:
-
İlk çekilen kart çift:
- 20, 22, 23, 24, 25
- 40, 42, 43, 44, 45
- Asal sayılar: 23, 43
-
İlk çekilen kart tek:
- 32, 34, 35
- 52, 54, 53
- Asal sayılar: 53
Toplam Asal Sayılar:
- 23, 43, 53
Olasılık Hesaplaması:
-
İlk çekilen kart çift (2 veya 4):
- Olasılık: \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
-
İlk çekilen kart tek (3 veya 5):
- Olasılık: \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
Asal Sayı Olasılıkları:
-
İlk çekilen kart çift:
- 2 (olası asal sayılar: 23, 43): \frac{2}{16} = \frac{1}{8}
- 4 (olası asal sayılar: 23, 43): \frac{2}{16} = \frac{1}{8}
-
İlk çekilen kart tek:
- 3 (olası asal sayı: 53): \frac{1}{12} = \frac{1}{12}
- 5 (olası asal sayı: 53): \frac{1}{12} = \frac{1}{12}
Toplam asal sayı olasılığı:
Buna göre, Yusuf’un oluşturduğu sayının asal olma olasılığı \boxed{\frac{5}{14}} olacaktır.