ln\left(\frac{x+1}{y}\right) = arctan(xy) eğrisinin (0,1) noktasındaki teğetinin eğimi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap:
Bu problemi çözmek için, önce verilen denklemin her iki tarafının türevini alarak başlıyoruz. Verilen denklem:
ln\left(\frac{x+1}{y}\right) = \arctan(xy)
-
Denklemin Türevi:
-
İlk olarak, sol tarafın türevini alalım:
y\left[\frac{\partial}{\partial x} ln\left(\frac{x+1}{y}\right)\right] = y\left[\frac{1}{\frac{x+1}{y}} \cdot \frac{1}{y}\right] = \frac{y}{x+1} -
Şimdi sağ tarafın türevini alalım. Zincir kuralını ve içsel türevleri kullanarak:
\frac{d}{dx} (\arctan(xy)) = \frac{1}{1+(xy)^2} \cdot (y + xy' \cdot x)
-
-
Eğimi Bulma:
-
Denklemleri toplarlayarak:
\frac{d}{dx} ln\left(\frac{x+1}{y}\right) = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{y} \cdot y' = \frac{y + xy' \cdot x}{1 + (xy)^2} -
(0,1) noktasında yerine koyarak:
- x = 0
- y = 1
Bu noktada, simplifie edilmiş denklem:
\frac{1}{1+0} (-y') = \frac{d}{dy}
-
-
Çözüm:
- y_teğet eğimi (0,1) noktasının çözülmesi:
- Doğru olarak matematiksel fonksiyon ile türevini kontrol ederek,
- Algebraik olarak:
- y_teğet eğimi (0,1) noktasının çözülmesi:
\text{y' = - x^2 \cdot y + (y0)} = 0
Çözüme göre: \boxed{0}