( y^5 + x^3 = y^2 + 9x ) eğrisine (0,1) noktasından çizilen teğetin eğimi kaçtır?

Üniversite Matematik Bölümü
1

Ekran görüntüsü 2024-08-01 210113
Ekran görüntüsü 2024-08-01 2101131001×551 24 KB

2

( y^5 + x^3 = y^2 + 9x ) eğrisine (0,1) noktasından çizilen teğetin eğimi kaçtır?

Çözüm:
Bu soruda, eğriye (0,1) noktasından çizilen teğetin eğimini bulmamız gerekiyor. Bunun için implicit differentiation (örtük türev) kullanarak ( \frac{dy}{dx} ) (eğimi) bulacağız.

  1. Eğrinin türevini alın:
    Verilen denklem: ( y^5 + x^3 = y^2 + 9x )

    Denklem her iki tarafının türevini alalım:

    • ( y^5 ) kısmının türevi: ( 5y^4 \frac{dy}{dx} )
    • ( x^3 ) kısmının türevi: ( 3x^2 )
    • ( y^2 ) kısmının türevi: ( 2y \frac{dy}{dx} )
    • ( 9x ) kısmının türevi: ( 9 )

    Bu türevleri denkleme uygulayalım:

    5y^4 \frac{dy}{dx} + 3x^2 = 2y \frac{dy}{dx} + 9

  2. Türevde yalıtmak:
    ( \frac{dy}{dx} ) terimlerini bir tarafa toplayalım:

    5y^4 \frac{dy}{dx} - 2y \frac{dy}{dx} = 9 - 3x^2

    Faktör işlemi yapalım:

    (5y^4 - 2y) \frac{dy}{dx} = 9 - 3x^2

    ( \frac{dy}{dx} )'i yalnız bırakmak için:

    \frac{dy}{dx} = \frac{9 - 3x^2}{5y^4 - 2y}

  3. (0,1) noktası için hesaplama:
    Şimdi, ( x = 0 ) ve ( y = 1 ) değerlerini yerine koyalım:

    \frac{dy}{dx} = \frac{9 - 3(0)^2}{5(1)^4 - 2(1)} = \frac{9}{5 - 2} = \frac{9}{3} = 3

Sonuç olarak, ( y^5 + x^3 = y^2 + 9x ) eğrisine (0,1) noktasından çizilen teğetin eğimi \boxed{3} olacaktır.