Soru:
Elimizdeki eşitlikler:
- y = u^3 - 2u^2 + 1,
- u = t^2 - 3t,
- t = 2x - 5.
x = 3 noktasında \frac{dy}{dx} ifadesinin değerini hesaplayacağız.
Çözüm Adımları
Adım 1: Zincir Kuralını Uygula
Zincir kuralı gereği:
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}.
Adım 2: Bileşenlerin Türevlerini Bul
(i) y = u^3 - 2u^2 + 1:
\frac{dy}{du} = 3u^2 - 4u.
(ii) u = t^2 - 3t:
\frac{du}{dt} = 2t - 3.
(iii) t = 2x - 5:
\frac{dt}{dx} = 2.
Adım 3: x = 3 Değerini Yerleştir
(i) x = 3 için t değeri:
t = 2(3) - 5 = 6 - 5 = 1.
(ii) t = 1 için u değeri:
u = (1)^2 - 3(1) = 1 - 3 = -2.
(iii) u = -2 için \frac{dy}{du} değeri:
\frac{dy}{du} = 3(-2)^2 - 4(-2) = 3(4) + 8 = 12 + 8 = 20.
(iv) t = 1 için \frac{du}{dt} değeri:
\frac{du}{dt} = 2(1) - 3 = 2 - 3 = -1.
(v) \frac{dt}{dx} sabit:
\frac{dt}{dx} = 2.
Adım 4: Tümünü Birleştir
Zincir kuralı gereği:
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}.
Yerleştirelim:
\frac{dy}{dx} = (20) \cdot (-1) \cdot (2) = -40.
Sonuç
x = 3 noktasında \frac{dy}{dx}'in değeri:
Cevap: B) -40
y = u³ − 2u² + 1, u = t² − 3t, t = 2x − 5 olduğuna göre, dy/dx ifadesinin x=3 noktasındaki değeri nedir?
Cevap:
Öncelikle üç katlı fonksiyonun türevini almak için zincir kuralı kullanacağız:
-
y, u cinsinden:
y = u³ − 2u² + 1
Buradan
dy/du = 3u² − 4u -
u, t cinsinden:
u = t² − 3t
Buradan
du/dt = 2t − 3 -
t, x cinsinden:
t = 2x − 5
Buradan
dt/dx = 2
Zincir kuralı gereği:
dy/dx = (dy/du) × (du/dt) × (dt/dx)
Adım Adım Hesaplama
• x = 3 noktasında önce t değerini bulalım:
t = 2(3) − 5 = 6 − 5 = 1
• t = 1 için u değerini bulalım:
u = 1² − 3(1) = 1 − 3 = −2
• Şimdi türev değerlerini hesaplayalım:
dy/du = 3(−2)² − 4(−2) = 3·4 + 8 = 12 + 8 = 20
du/dt = 2(1) − 3 = 2 − 3 = −1
dt/dx = 2
• Son olarak:
dy/dx = (20) × (−1) × (2) = −40
Bu değer, soruda belirtilen x=3 noktasında dy/dx = −40 olduğunu gösterir.
Özet Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. t değeri bulma | t = 2(3) − 5 | t = 1 |
| 2. u değeri bulma | u = (1)² − 3(1) | u = −2 |
| 3. dy/du hesaplama | 3u² − 4u | 20 |
| 4. du/dt hesaplama | 2t − 3 | −1 |
| 5. dt/dx hesaplama | 2 | 2 |
| 6. dy/dx = (dy/du)(du/dt)(dt/dx) | 20 × (−1) × 2 | −40 |
Sonuç: x = 3 noktasında türevin değeri −40.