ln\frac{x+1}{y} = arctan(xy) eğrisinin (0,1) noktasındaki teğetinin eğimi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap:
Bu soruyu çözmek için, önce verilen fonksiyonun her iki tarafını da topluca türevlememiz gerekecek ve ardından x = 0 ve y = 1 değerleri ile türevleri bulmamız gerekmektedir.
Verilen eşitlik:
\ln\left(\frac{x+1}{y}\right) = \arctan(xy)
-
Türev Alma:
Fonksiyonu her iki tarafında x ve y cinsinden türevini alalım. Bunun için logaritma ve arktanjant fonksiyonlarının türev kurallarını uygulayacağız.Sağ tarafın türevi:
\frac{d}{dx}\left(\ln\left(\frac{x+1}{y}\right)\right)Kullanarak zincir kuralını ve fonksiyonların türev kurallarını:
\frac{d}{dx}\left(\ln\left(\frac{x+1}{y}\right)\right) = \frac{1}{\frac{x+1}{y}} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x+1}{y}\right)İçerik türevini bulalım:
\frac{d}{dx}\left(\frac{x+1}{y}\right) = \frac{d(x+1)}{dx} \cdot \frac{1}{y} + (x+1) \cdot \frac{d(\frac{1}{y})}{dx}\frac{1}{y} 'in türevi ise:
\frac{d(\frac{1}{y})}{dx} = -\frac{x}{y^2}Bu nedenle:
\frac{d}{dx}\left(\frac{x+1}{y}\right) = \frac{1}{y}Böylece sağ tarafın türevi:
\frac{1}{\frac{x+1}{y}} \cdot \frac{1}{y} = \frac{y}{x+1}Sol tarafın türevi:
\frac{d}{dx}\left(\arctan(xy)\right) = \frac{1}{1+(xy)^2} \cdot \left( y \cdot \frac{d}{dx}(x) + x \cdot \frac{d}{dx}(y) \right) = \frac{y}{1+(xy)^2} -
Eğim Hesabı:
Türevi (0,1) noktasında değerleyelim:\left. \frac{d}{dx}\left(\ln\left(\frac{x+1}{y}\right)\right) = \frac{d}{dx}\left(\arctan(xy)\right) \right|_{(x,y)=(0,1)}\left. \frac{y}{x+1} \right|_{(0,1)} = \left. \frac{y}{1+(xy)^2} \right|_{(0,1)}Basitçe şunu sağlarız:
\frac{1}{1} = \frac{1}{1+0^2} = 1
Sonuç olarak, eğri y 'nin eğimi (0,1) noktasında -1 'dır.
Cevap:
\boxed{-1}