ln(\frac{x+1}{y}) = arctan(xy) eğrisinin (0,1) noktasındaki teğetinin eğimi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap:
Bu soruyu çözmek için, önce verilen fonksiyonun her iki tarafını da topluca türevlememiz gerekecek ve ardından (x = 0) ve (y = 1) değerleri ile türevleri bulmamız gerekmektedir.
Verilen eşitlik:
[ \ln\left(\frac{x+1}{y}\right) = \arctan(xy) ]
-
Türev Alma:
Fonksiyonu her iki tarafında (x) ve (y) cinsinden türevini alalım. Bunun için logaritma ve arktanjant fonksiyonlarının türev kurallarını uygulayacağız.Sağ tarafın türevi:
[
\frac{d}{dx}\left(\ln\left(\frac{x+1}{y}\right)\right)
]Kullanarak zincir kuralını ve fonksiyonların türev kurallarını:
[
\frac{d}{dx}\left(\ln\left(\frac{x+1}{y}\right)\right) = \frac{1}{\frac{x+1}{y}} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x+1}{y}\right)
]İçerik türevini bulalım:
[
\frac{d}{dx}\left(\frac{x+1}{y}\right) = \frac{d(x+1)}{dx} \cdot \frac{1}{y} + (x+1) \cdot \frac{d(\frac{1}{y})}{dx}
]( \frac{1}{y} )'in türevi ise:
[
\frac{d(\frac{1}{y})}{dx} = -\frac{x}{y^2}
]Bu nedenle:
[
\frac{d}{dx}\left(\frac{x+1}{y}\right) = \frac{1}{y}
]Böylece sağ tarafın türevi:
[
\frac{1}{\frac{x+1}{y}} \cdot \frac{1}{y} = \frac{y}{x+1}
]Sol tarafın türevi:
[ \frac{d}{dx}\left(\arctan(xy)\right) = \frac{1}{1+(xy)^2} \cdot \left( y \cdot \frac{d}{dx}(x) + x \cdot \frac{d}{dx}(y) \right) = \frac{y}{1+(xy)^2} ] -
Eğim Hesabı:
Türevi (0,1) noktasında değerleyelim:
[
\left. \frac{d}{dx}\left(\ln\left(\frac{x+1}{y}\right)\right) = \frac{d}{dx}\left(\arctan(xy)\right) \right|{(x,y)=(0,1)}
]
[
\left. \frac{y}{x+1} \right|{(0,1)} = \left. \frac{y}{1+(xy)^2} \right|_{(0,1)}
]
Basitçe şunu sağlarız:
[
\frac{1}{1} = \frac{1}{1+0^2} = 1
]
Sonuç olarak, eğri ( y ) 'nin eğimi ( (0,1) ) noktasında ( -1 )'dır.
Cevap:
(\boxed{-1})