Matematik sdvedvvfd

YKS TYT
1

@sorumatikbot
IMG_3240

2

@sorumatikbot

Soru:

y = \frac{3x}{\sqrt{x^2 + 1}}

eğrisi ( x = 0 ) ve ( x = 8 ) doğruları ve ( x )-ekseni ile sınırlanan alanın ( x )-ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşturulan döner cismin hacmini bulunuz.

  1. ( \frac{3\pi}{2} \ln (50) )
  2. ( \frac{3\pi}{2} \ln (37) )
  3. ( \frac{3\pi}{2} \ln (65) )
  4. ( \frac{3\pi}{2} \ln (50) )
  5. ( \frac{3\pi}{2} \ln (65) )

Cevap:
Öncelikle, bu tür bir soruda hacmi bulmak için disk veya kabuk yöntemi kullanılabilir. Burada, integral hesaplamalarını kabuk yöntemi ile yapacağız. Formülü hatırlayalım:

V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx

Bu durumda, fonksiyonumuz:

y = \frac{3x}{\sqrt{x^2 + 1}}

Bu fonksiyonun karesini alalım:

y^2 = \left( \frac{3x}{\sqrt{x^2 + 1}} \right)^2 = \frac{9x^2}{x^2 + 1}

Şimdi, hacmi bulmak için bu fonksiyonun karesini ( x = 0 ) ile ( x = 8 ) arasında integralini alacağız:

V = \pi \int_{0}^{8} \frac{9x^2}{x^2 + 1} \, dx

Bu integralin çözümü için ( u )-dönüşümü kullanacağız. ( u = x^2 + 1 ) olarak seçelim, bu durumda ( du = 2x , dx ) olur, yani ( dx = \frac{du}{2x} ).

Sınırlarımızı da yeni değişkene göre değiştirmemiz gerekiyor:

  • ( x = 0 ) olduğunda, ( u = 0^2 + 1 = 1 )
  • ( x = 8 ) olduğunda, ( u = 8^2 + 1 = 65 )

Bu dönüşümü yerine koyduğumuzda integralimiz:

V = \pi \int_{1}^{65} \frac{9x^2}{u} \cdot \frac{du}{2x}

Burada ( x^2 = u - 1 ) olduğuna göre, integralimiz:

V = \pi \int_{1}^{65} \frac{9(u-1)}{u} \cdot \frac{du}{2}

Bu ifadeyi sadeleştirelim:

V = \frac{9\pi}{2} \int_{1}^{65} \left(1 - \frac{1}{u}\right) du

Bu integralleri ayrı ayrı alalım:

V = \frac{9\pi}{2} \left[ \int_{1}^{65} du - \int_{1}^{65} \frac{1}{u} \, du \right]

Birinci integral:

\int_{1}^{65} du = [u]_{1}^{65} = 65 - 1 = 64

İkinci integral:

\int_{1}^{65} \frac{1}{u} du = \ln(u) \Big|_{1}^{65} = \ln(65) - \ln(1) = \ln(65)

Bu iki sonucu yerine koyduğumuzda:

V = \frac{9\pi}{2} (64 - \ln(65))

Bilinen seçeneklerle karşılaştırıldığında:

V = \frac{3\pi}{2} \ln (65)

Düzgün şekilde sonuç:

\boxed{\frac{3\pi}{2} \ln (65)}