X, Y, Z, T maddelerinden sırası ile x, y, z, t gram alınıyor ve \frac{x}{y} = \frac{2}{3}, \frac{y}{z} = \frac{1}{5}, \frac{z}{t} = \frac{1}{2} oranlarında karıştırılarak bir karışım elde ediliyor. Buna göre, karışımdaki Y maddesinin oranı yüzde kaçtır?
Çözüm:
Verilen oranlar:
- \frac{x}{y} = \frac{2}{3}
- \frac{y}{z} = \frac{1}{5}
- \frac{z}{t} = \frac{1}{2}
Öncelikle ortak bir payda bulup bu oranları eşitleyelim. Bunun için tüm oranları tek bir değişken cinsinden yazmamız gerekiyor.
-
Oranı birleştirmenin adımları:
\frac{x}{y} = \frac{2}{3} \implies x = \frac{2}{3}y
\frac{y}{z} = \frac{1}{5} \implies y = \frac{1}{5}z
\frac{z}{t} = \frac{1}{2} \implies z = \frac{1}{2}t
-
Oranları birleştirelim ve tek bir değişken cinsinden yazalım:
y = \frac{1}{5}z
z = \frac{1}{2}t
Dolayısıyla:
y = \frac{1}{5} \times \frac{1}{2}t = \frac{1}{10}t
-
Tüm maddeleri en küçük ortak kat (EKOK) kullanarak yazarak birbirine denk getirelim ve oran belirlensin:
x = \frac{2}{3}y = \frac{2}{3} \times \frac{1}{10}t = \frac{2}{30}t = \frac{1}{15}t
Şimdi tüm maddeleri t cinsinden yazdık:
- x = \frac{1}{15}t
- y = \frac{1}{10}t
- z = \frac{1}{2}t
- t = t
-
Toplam karşim miktarı hesaplayalım:
Toplam karışım miktarı:
x + y + z + t = \frac{1}{15}t + \frac{1}{10}t + \frac{1}{2}t + t
Payda eşitleyerek bu oranları toplarsak:
\frac{1}{15}t + \frac{1}{10}t + \frac{1}{2}t + t = \frac{2}{30}t + \frac{3}{30}t + \frac{15}{30}t + \frac{30}{30}t = \frac{50}{30}t = \frac{5}{3}t
-
Y maddesinin toplam karışımdaki yüzde oranını hesaplayalım:
Y maddesinin oranı:
\frac{y}{\text{Toplam karışım}} \times 100 = \frac{\frac{1}{10}t}{\frac{5}{3}t} \times 100 = \frac{1}{10} \times \frac{3}{5} \times 100 = \frac{3}{50} \times 100 = \frac{300}{50} = 6
Sonuç olarak, karışımdaki Y maddesinin oranı yüzde 6'dır.
Yanıt: B) 6