1/(a+2) + 1/(a+3) + 1/(a+4) İfadesi Nasıl A Türünden Yazılır?
Soru: a bir pozitif tam sayı olmak üzere,
A = a/(a+2) + (a+1)/(a+3) + (a+2)/(a+4)
eşitliği veriliyor. Buna göre, 1/(a+2) + 1/(a+3) + 1/(a+4) ifadesinin A türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm Adımları:
-
Her bir kesri “1 - (payda farkı)/(payda)” şeklinde parçalayalım:
- a/(a+2) = (a+2 - 2)/(a+2) = 1 - 2/(a+2)
- (a+1)/(a+3) = (a+3 - 2)/(a+3) = 1 - 2/(a+3)
- (a+2)/(a+4) = (a+4 - 2)/(a+4) = 1 - 2/(a+4)
-
Bu ifadelerin toplamını A olarak tanımladığımız için:
A = [1 - 2/(a+2)] + [1 - 2/(a+3)] + [1 - 2/(a+4)] -
Toplamları düzenleyelim:
A = 3 - [2/(a+2) + 2/(a+3) + 2/(a+4)]
A = 3 - 2·[1/(a+2) + 1/(a+3) + 1/(a+4)] -
1/(a+2) + 1/(a+3) + 1/(a+4) terimini S olarak tanımlayalım:
S = 1/(a+2) + 1/(a+3) + 1/(a+4) -
Yukarıdaki denklemden S’yi A cinsinden çözelim:
A = 3 - 2S ⟹ 2S = 3 - A ⟹ S = (3 - A)/2
Dolayısıyla,
1/(a+2) + 1/(a+3) + 1/(a+4) = (3 - A)/2.
Özet Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | a/(a+2) vb. kesirleri 1 - 2/(a+2) şeklinde ayırma | a/(a+2) = 1 - 2/(a+2) (benzer şekilde diğerleri) |
| 2 | Tüm kesirleri topla | A = 3 - 2(1/(a+2) + 1/(a+3) + 1/(a+4)) |
| 3 | 1/(a+2) + 1/(a+3) + 1/(a+4) = S tanımla | A = 3 - 2S |
| 4 | S’yi A cinsinden çöz | S = (3 - A)/2 |
| 5 | Sonuç | (3 - A)/2 |
Cevap: 1/(a+2) + 1/(a+3) + 1/(a+4) = (3 - A)/2.