[Tabir](3a / (4 + a)) ifadesi pozitif bir tam sayıya eşit olduğuna göre, a’nın alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Cevap:
\frac{3a}{4 + a} ifadesinin bir tam sayı olması ve pozitif olması için, \frac{3a}{4 + a} ifadesinin bir pozitif tam sayı k olması gerekmektedir. Bu durumda:
\frac{3a}{4 + a} = k \quad \text{(k pozitif bir tam sayı)}
Buradan 3a = k(4 + a) elde ederiz ve bu denklemi düzenlersek:
3a = 4k + ka
3a - ka = 4k
a(3 - k) = 4k
a = \frac{4k}{3 - k}
a bir tam sayı olmalıdır, bu nedenle \frac{4k}{3 - k} bir tam sayı olmalıdır. \frac{4k}{3 - k} ifadesinin tam sayı olması için payda (3 - k) sayısının 4k’yı bölmesi gerekmektedir.
Bu olasılıkları tek tek inceleyelim:
- 3 - k > 0 ve k pozitif olmalıdır.
Bu durumda:
1 ≤ k < 3
Yani k = 1 ve k = 2 değerlerini alır.
Bu değerler için a'yı hesaplayalım:
- k = 1:
a = \frac{4 \cdot 1}{3 - 1}=\frac{4}{2} = 2 (\textit{tam böldüğü için } k = 1 \textit{ değerini sağlar})
- k = 2:
a = \frac{4 \cdot 2}{3 - 2}=\frac{8}{1} = 8 (\textit{tam böldüğü için } k = 2 \textit{ değerini sağlar})
Sonuç olarak:
a'nın alabileceği pozitif tam sayı değerleri:
- a = 2
- a = 8
Doğru yanıt:
Bu durumda @Elif44 , toplamda \boxed{2} olacaktır.