K ve L araçlarının aldıkları yolların oranı
Cevap:
K ve L araçlarının ivme-zaman grafiklerinden hareketle, aldıkları yolların oranını bulmak için öncelikle ivme, hız ve yol arasındaki ilişkiyi incelememiz gerekir. İvme-zaman grafikleri, araçların ivmesini ve bu ivme sonucunda kazandıkları hızın zamana bağlı olarak nasıl değiştiğini gösterir.
İvme ( a ), bir cismin hızının zamandaki değişim hızıdır. İvmenin integralini alarak hız (( v )) zaman fonksiyonunu bulabiliriz:
$$ v(t) = \int a , dt $$
Aynı şekilde hızı zaman fonksiyonu olarak verirsek, bu hızın integrali de zamana bağlı olarak alınan yolu (( x )) verir:
$$ x(t) = \int v , dt $$
Grafiklere göre, K ve L araçlarının ivme değerleri sabittir: her ikisi de ( a = 5 , \text{m/s}^2 ).
Adım 1: Hız fonksiyonunu bulma
Araçlar başlangıçta durgun olduğuna göre, ivmenin integrali hız fonksiyonunu verecektir. K ve L araçları için hız zaman fonksiyonları şu şekildedir:
- K aracı için: ( v_K(t) = 5t )
- L aracı için: ( v_L(t) = 5t )
Adım 2: Alınan yolun bulunması
K ve L araçlarının (0,4) s zaman aralığında aldığı yolu bulmak için hız fonksiyonlarını zaman aralığında integre ederiz:
$$ x_K = \int_0^4 v_K , dt = \int_0^4 5t , dt $$
$$ x_L = \int_0^4 v_L , dt = \int_0^4 5t , dt $$
Integralleri alalım:
$$ x_K = \left[ \frac{5}{2}t^2 \right]_0^4 = \frac{5}{2}(4^2) = 40 , \text{m} $$
$$ x_L = \left[ \frac{5}{2}t^2 \right]_0^4 = \frac{5}{2}(4^2) = 40 , \text{m} $$
Adım 3: Oranın hesaplanması
K ve L araçlarının aldığı yolların oranı, ( x_K / x_L ) olacaktır. Her iki aldıkları yol arasında bir fark yoktur:
$$ \frac{x_K}{x_L} = \frac{40}{40} = 1 $$
Sonuç:
( x_K / x_L = 1 ) oranına ulaşırız. Bu durumda, doğru cevap C) 1 olmalıdır.