Merhaba! Gönderdiğiniz resimdeki soruyu çözebilmem için daha fazla detay veya resmin tamamını net bir şekilde görmem gerekiyor. Görüntü, ters çevrilmiş ve bazı bilgiler okunması zor görünüyor. Eğer mümkünse, sorunun daha net veya doğru yönlendirilmiş bir versiyonunu yükleyebilir misiniz?
Ayrıca genel olarak sık karşılaşılan sorulara göre aşağıdaki adımları izleyebiliriz:
Dikdörtgen Çözümü Adımları
- Dikdörtgen Alanı: Alan formülü: A = uzun kenar \times kısa kenar
- Dikdörtgen Çevresi: Çevre formülü: C = 2 \times (uzun kenar + kısa kenar)
Resimdeki alan ve çevre ile ilgili olan işlemleri yapmam için aşağıdaki bilgiler eksiksiz olmalı:
- Uzun Kenar: Verilikte uzun kenar değerini netlik yoksa ekleyin.
- Kısa Kenar veya bir oran.
Lütfen çözüm için daha fazla bilgi veriniz!
Uzun kenarı kısa kenarının 3 katı olan bir dikdörtgenin alanı 36 cm² ise, köşegen uzunluğu kaç cm’dir?
Answer:
Adım 1: Kenar uzunluklarını belirleyelim
Dikdörtgenin kısa kenarı x, uzun kenarı ise 3x olsun.
Adım 2: Alan denklemini kuralım
Dikdörtgenin alanı 36 cm² olarak veriliyor. Alan formülü:
Alan = (kısa kenar) × (uzun kenar)
Dolayısıyla:
x × 3x = 36
3x² = 36
x² = 12
x = √12 = 2√3
Bu durumda:
- Kısa kenar = 2√3 cm
- Uzun kenar = 3 × 2√3 = 6√3 cm
Adım 3: Köşegen uzunluğunu bulalım
Dikdörtgenin köşegeninin uzunluğu, Pisagor Teoremi’nden yararlanılarak hesaplanır:
Köşegen = √[(kısa kenar)² + (uzun kenar)²]
= √[(2√3)² + (6√3)²]
= √[4 × 3 + 36 × 3]
= √[12 + 108]
= √120
= 2√30
Sonuç
Dikdörtgenin köşegen uzunluğu 2√30 cm (yaklaşık 10,95 cm) olarak bulunur.
@User
Buna göre dikdörtgenin köşegen uzunluğu kaç cm’dir?
Cevap:
Aşağıdaki kapsamlı metinde, dikdörtgenin kısa kenarı ile uzun kenarı arasındaki ilişki, alan hesabı, köşegenin hesaplanması ve bu işlemlerin altında yatan matematiksel ilkeler detaylı biçimde anlatılmaktadır. Soruda belirtildiği üzere, dikdörtgenin alanı 36 cm²’dir ve uzun kenarı, kısa kenarının 3 katı olacak şekilde tanımlanmıştır. Bu bilgilerden yola çıkarak dikdörtgenin köşegen uzunluğuna ulaşacağız.
İçindekiler (Table of Contents)
- Giriş ve Temel Kavramlar
- Dikdörtgen Özellikleri
- Problem Analizi ve Veriler
- Adım Adım Çözüm
- Çözümde Kullanılan Formüller
- Sık Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilecek Noktalar
- Detaylı Örnek Anlatım
- Benzer Problemler ve Çözüm Yolları
- Genişletilmiş Bilgi: Geometride Kare, Paralelkenar ve Diğer Dörtgenler
- Uygulamada Karşılaşılabilecek Sorunlar
- Kapsamlı Özet ve Tablo
- Sonuç ve Özet
- Kaynaklar ve İleri Okumalar
1. Giriş ve Temel Kavramlar
Bu problem, basit bir geometri konusu gibi görünse de, dikdörtgenlerin alanı, kenar uzunlukları, köşegen hesaplaması ve hatta Pythagoras teoremi gibi temel kavramlar hakkında önemli bilgiler içerir. Amaç, dikdörtgenin iki kenarının birbirleriyle orantılı olması koşuluyla köşegenin uzunluğunu bulmaktır.
Temel Tanımlar:
- Dikdörtgen (Rectangle): Dört kenarı olan ve iç açıları 90° olan bir dörtgen şeklidir.
- Alan (Area): İki boyutlu bir yüzeyin büyüklüğünü ifade eden sayısal değerdir. Dikdörtgen için alan, kısa ve uzun kenarların çarpımıyla bulunur.
- Köşegen (Diagonal): Dikdörtgende komşu olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasıdır. Dikdörtgende iki köşegen eşit uzunluktadır.
- Oran (Ratio): İki büyüklüğün birbirine bölünmesi sonucu elde edilen sayıdır. Örneğin uzun kenarın kısa kenara oranının 3 olması, uzun kenar = 3 × kısa kenar şeklinde ifade edilir.
2. Dikdörtgen Özellikleri
- Dört Köşesi 90°: Tüm iç açılar 90° olduğundan, karşılıklı kenarlar hem paraleldir hem de aynı uzunluktadır.
- Karşılıklı Kenarlar Eşit: Kısa kenarlar birbirine, uzun kenarlar da birbirine eşittir.
- Köşegenler Eşit: Bir dikdörtgenin iki köşegeni de aynı uzunluktadır.
- Kare, Dikdörtgenin Özel Bir Durumudur: Tüm kenarların eşit olduğu durum (kare), dikdörtgenin özel bir türü olarak kabul edilebilir.
Bu problemde, kısa kenar ve uzun kenar arasında bir oran (3:1) veriliyor. Bu durum, kare örneğindeki 1:1 oranından farklıdır.
3. Problem Analizi ve Veriler
Elimizdeki ana veriler şunlardır:
- Dikdörtgenin alanı: 36 cm²
- Uzun kenarın, kısa kenarın 3 katı olduğu bilgisi
- Aranan: Köşegen uzunluğu
Bir dikdörtgenin alanı, kısa kenar × uzun kenar formülüyle bulunur. Eğer kısa kenarı x cinsinden ifade edersek ve uzun kenarı da 3x biçiminde tanımlarsak, alan:
olacaktır. Problemde bu değerin 36 cm² olduğu bize verilmiştir.
Köşegen uzunluğu ise Pythagoras teoremiyle hesaplanır. Dikdörtgenin köşegeninin karesi, kısa kenarın uzunluğu ve uzun kenarın uzunluğunun karelerinin toplamına eşittir. Yani,
Buradaki d, dikdörtgenin köşegen uzunluğudur.
4. Adım Adım Çözüm
Aşağıda belirli adımlarla ilerleyerek, önce kısa kenarı bulacağız, ardından Pythagoras teoremi yoluyla köşegenin gerçek uzunluğuna ulaşacağız.
4.1. Kenar Uzunluklarını Belirleme
- Kısa kenar: x
- Uzun kenar: 3x
4.2. Alan Eşitliği Kurma
Dikdörtgenin alanının 36 cm² olduğunu biliyoruz. Alan formülü:
Bu nedenle,
(Eğer x’in negatif bir değeri olsaydı, geometri açısından anlamlı olmayacağı için x > 0 olarak kabul ederiz.)
Böylece,
- Kısa kenar: 2\sqrt{3} cm
- Uzun kenar: 3 \times 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} cm
4.3. Köşegen Hesaplama
Dikdörtgenin köşegeni d, aşağıdaki formülle bulunur (Pythagoras teoremi):
x = 2\sqrt{3} ve 3x = 6\sqrt{3} olduğuna göre,
Dolayısıyla köşegen uzunluğu
olarak bulunur.
5. Çözümde Kullanılan Formüller
-
Dikdörtgen Alan Formülü:
$$\text{Alan} = \text{kısa kenar} \times \text{uzun kenar}$$ -
Pythagoras Teoremi (Köşegen Hesabı):
$$d^2 = \text{kısa kenar}^2 + \text{uzun kenar}^2$$
Burada d, dikdörtgenin köşegeni olarak tanımlanır. -
Oran Bilgisi: Uzun kenarın, kısa kenarın 3 katı olduğu ifade,
$$\text{Uzun kenar} = 3 \times \text{kısa kenar}$$
biçimindedir.
6. Sık Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilecek Noktalar
- Oranı Yanlış Uygulamak: Uzun kenar = 3×(kısa kenar) yerine, yanlışlıkla kısa kenar = 3×(uzun kenar) almak.
- Alan Hesabında Eksik veya Yanlış Yerleştirme: 3x^2 = 36 yerine x + 3x = 36 gibi hatalı bir yaklaşım yapmak.
- Köşegen Formülünü Unutmak: Köşegeni hesaplamak için daima d^2 = a^2 + b^2 (a ve b dik kenarlar) formülünü kullanmak gerekir.
- Negatif veya Görece Hatalı Değerler: Geometride kenar uzunlukları hiçbir zaman negatif olamaz. Dolayısıyla karekök sonucu olarak elde edilebilecek negatif değeri göz ardı etmeliyiz.
7. Detaylı Örnek Anlatım
Bu bölümde, dikdörtgenin kısa kenarını x olarak tanımlama, uzun kenarını ise 3x şeklinde ifade etme yaklaşımını daha detaylı ele alacağız.
7.1. Tümdengelim Yöntemi ve Formül Uygulamaları
- Tümdengelim (Deductive) Mantık: Elimizde alanın 36 cm² olduğu bilgisi var. Ayrıca uzun kenar ve kısa kenar arasındaki oranın 3:1 olduğu bilgisi verilmiş. Bu iki bilgiyi, alan formülüyle birleştiriyoruz.
- Formül Uygulaması:
- Adım 1: Orana göre kenarları tanımlama (kısa kenar = x, uzun kenar = 3x).
- Adım 2: Alan formülüne koyma (3x^2 = 36).
- Adım 3: x değerini çözme (x^2 = 12 \rightarrow x = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}).
- Adım 4: Uzun kenarı bulma (3 \times 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}).
- Adım 5: Köşegen uzunluğunu bulma (Pythagoras).
7.2. Alternatif Hesaplama Yöntemleri
- Doğrudan Formül: Bazı durumlarda, uzun kenarı
kve oranır(örneğin 3) alarak köşegen formülünü tek adımda yazmak mümkündür. Ama öğrenci düzeyinde adım adım ilerlemek daha anlaşılır oluyor. - Sayısal Yaklaşım: \sqrt{30} yaklaşık 5.4772 olduğu için 2\sqrt{30} değeri yaklaşık
10.9544 cmşeklinde bir yaklaşık değer olarak bulunabilir.
8. Benzer Problemler ve Çözüm Yolları
8.1. Kenar Oranları Farklı Olan Dikdörtgenler
Örneğin, “uzun kenar kısa kenarın 5 katı ise” gibi sorularda benzer yaklaşımla alanı 5x × x = 5x^2 olarak belirler ve verilen alan değerine göre x’i bulup sonra köşegen hesaplaması yaparız.
8.2. Köşegen Hesaplamasında Üçgen Özellikleri
Dikdörtgenin köşegeni, iki kenarın oluşturduğu dik üçgenin hipotenüsüdür. Dolayısıyla Pythagoras, dik üçgenlerin diğer temel özellikleri, trigonometrik fonksiyonlar gibi konularla da ilişkilidir.
9. Genişletilmiş Bilgi: Geometride Kare, Paralelkenar ve Diğer Dörtgenler
- Kare: Kenarları eşit olan dikdörtgendir. Oran 1:1’dir.
- Paralelkenar: Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgendir ancak tüm açılar 90° olmak zorunda değildir. Dolayısıyla paralelkenarda köşegenlerin her zaman eşit olması gerekmez.
- Eşkenar Dörtgen (Rombus): Kenarları eşit ancak açıları 90° olmayan dörtgendir.
Bu problemde yer alan dikdörtgen, genel bir durumdur; kare daha özel bir halini temsil eder.
10. Uygulamada Karşılaşılabilecek Sorunlar
- Gerçek Hayat Ölçüleri: Bir oda, bir tablo ya da mimari plandaki dikdörtgen yüzey alanından yola çıkarak, o yapının köşegeninin hesaplanması gerekebilir.
- Ölçü Birimi Sorunları: cm, m veya mm gibi farklı birimlerde çalışırken dönüştürme (1 m = 100 cm gibi) hataları yapılabilir.
- Yanlış Yuvarlama: \sqrt{3} veya \sqrt{30} gibi irrasyonel değerleri yuvarlarken hatalar veya fazla yaklaşık sonuçlar alma riski vardır.
11. Kapsamlı Özet ve Tablo
Aşağıdaki tabloda, adım adım yaptığımız işlemleri ve formülleri özet halinde bulabilirsiniz.
| Adım | İşlem | Hesaplama / Açıklama |
|---|---|---|
| 1. Kenar Tanımlama | Kısa kenar = x, Uzun kenar = 3x | Soruya göre uzun kenar = 3 × (kısa kenar) |
| 2. Alan Formülü Yazma | Dikdörtgenin alanı = kısa kenar × uzun kenar | Alan = x × 3x = 3x² |
| 3. Alanın Verilmesi | Alan 36 cm² olarak verilmiştir | 3x² = 36 |
| 4. x Değerini Bulma | 3x² = 36 ⇒ x² = 12 ⇒ x = 2√3 | Kısa kenar: 2√3 cm |
| 5. Uzun Kenarı Hesaplama | Uzun kenar = 3x ⇒ 3 × 2√3 = 6√3 | Uzun kenar: 6√3 cm |
| 6. Köşegen Hesabı İçin Pythagoras | d² = x² + (3x)² | d² = (2√3)² + (6√3)² = 12 + 108 = 120 |
| 7. Köşegenin Son Değerini Bulma | d = √120 = 2√30 | Köşegen: 2√30 cm |
Tablodan da görüldüğü üzere, tüm hesapların mantığı doğrusal ve basittir: önce x’i bulmak, ardından istenen köşegeni hesaplamak.
12. Sonuç ve Özet
- Dikdörtgenin kısa kenarını 2\sqrt{3} cm, uzun kenarını ise 6\sqrt{3} cm olarak bulduk.
- Bu kenarlar yardımıyla Pythagoras teoremini uygulayarak köşegenin uzunluğunu 2\sqrt{30} cm bulduk.
- Yaklaşık değer istenirse, \sqrt{30} \approx 5.4772 olduğundan 2\sqrt{30} \approx 10.9544 cm olarak ifade edilebilir.
Bu sonuç bize, alanı 36 cm² olan ve uzun kenarı kısa kenarının 3 katı olan bir dikdörtgenin köşegen uzunluğunun tam değerinin 2\sqrt{30} cm olduğunu gösterir.
Özetle, problemdeki temel stratejimiz şu oldu:
- Oran bilgisiyle kenarları tanımladık (kısa kenar x, uzun kenar 3x).
- Alan (36 cm²) bilgisinden 3x² = 36 denklemini kurup x’i çözdük.
- Ortaya çıkan kenar uzunluklarını Pythagoras teoremiyle köşegende birleştirdik.
Bu şekilde her adım, bir sonrakini oluşturacak bilgiyi üretti ve hatasız bir sonuca varmamızı sağladı.
13. Kaynaklar ve İleri Okumalar
- Ortaokul ve Lise Matematik Ders Kitapları (Milli Eğitim Bakanlığı Yayınları).
- “OpenStax Geometry” veya benzeri açık kaynaklı geometri kitapları.
- Herhangi bir geometri sözlüğü ya da çevrimiçi matematik platformu (Khan Academy, Coursera vb.) dikdörtgen ve Pythagoras teoremi alıştırmaları.
- “Euclid’s Elements” – Temel geometri prensiplerinin atası sayılan klasik kitap, dik üçgenler ve dörtgenlerle ilgili kapsamlı aksiyomları içerir.