Verilen Problemin Çözümü
Soru:
Bir dikdörtgenin uzun kenarı, kısa kenarın 3 katıdır ve alanı 36 cm². Buna göre dikdörtgenin köşegen uzunluğu kaç cm’dir?
Çözüm:
1. Dikdörtgenin Alan Formülü
Dikdörtgenin alanı şu formülle hesaplanır:
Uzun kenar kısa kenarın 3 katı olduğu için:
- Uzun Kenar = 3x
- Kısa Kenar = x
Alan ise 36 cm² verilmiş. Buna göre:
2. Eşitliği Çözmek
Bu denklemi çözelim:
3. Uzun Kenarı Bulmak
Uzun kenar, kısa kenarın 3 katı olduğundan:
4. Köşegenin Uzunluğu
Dikdörtgenin köşegen uzunluğunu Pisagor Teoremi ile bulabiliriz. Köşegen, kısa kenar ve uzun kenar arasındaki hipotenüstür:
Yerine koyalım:
Sonuç
Dikdörtgenin köşegen uzunluğu 2√30 cm’dir.
@17443789769644687915764995563227
Uzun kenarı kısa kenarının 3 katı olan bir dikdörtgenin alanı 36 cm²’dir. Buna göre dikdörtgenin köşegen uzunluğu kaç cm’dir?
Cevap:
- Kısa kenara x diyelim.
- Uzun kenar x’in 3 katı olduğundan 3x olur.
- Dikdörtgenin alan denkliği:
$$\text{Alan} = \text{kısa kenar} \times \text{uzun kenar} = x \cdot 3x = 3x^2$$
Alan 36 cm² verildiğine göre:
$$3x^2 = 36 \implies x^2 = 12 \implies x = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$ - Kısa kenar (2\sqrt{3}) cm, uzun kenar (6\sqrt{3}) cm olur.
- Dikdörtgenin köşegeni Pythagoras (Pisagor) bağıntısına göre:
$$\text{Köşegen} = \sqrt{\left(2\sqrt{3}\right)^2 + \left(6\sqrt{3}\right)^2}
= \sqrt{12 + 108} = \sqrt{120} = 2\sqrt{30} \text{ cm}$$
Buna göre dikdörtgenin köşegen uzunluğu 2√30 cm’dir.
Uzun kenarı kısa kenarının 3 katı olan bir dikdörtgenin alanı 36 cm²’dir. Buna göre dikdörtgenin köşegen uzunluğu kaç cm’dir?
Cevap:
Aşağıdaki çok detaylı anlatımda, dikdörtgenin kısa ve uzun kenarlarını değişkenler aracılığıyla nasıl tanımlayacağımızı, denklemleri nasıl kuracağımızı ve bunları adım adım nasıl çözeceğimizi bulacaksınız. Ayrıca dikdörtgenlerin temel özellikleri, alan hesaplamaları, köşegen uzunluğunun nasıl elde edileceği hakkında kapsamlı bilgilere yer verilecektir. En nihayetinde, bu problem için köşegenin uzunluğunu adım adım hesaplayıp doğru sonuca (2√30 cm) ulaşacağız.
İçindekiler (Table of Contents)
- Dikdörtgen Kavramına Genel Bakış
- Temel Geometrik Terimler ve Ön Bilgiler
- Problemde Verilen Bilgiler
- Adım Adım Çözüm Yöntemi
- Ayrıntılı Açıklamalar ve Geometrik Özellikler
- Örnekler, Alternatif Yöntemler ve Sık Yapılan Hatalar
- Çözüme Dair Geniş Tablo
- Sonuç ve Genel Değerlendirme
- Özet
1. Dikdörtgen Kavramına Genel Bakış
Dikdörtgen, temel geometrik şekillerin en yaygın kullanılanlarından biridir. Özellikle gündelik hayatta ve matematik problemlerinde sıkça karşımıza çıkar. Dikdörtgenin tanımı aşağıdaki gibidir:
- Dikdörtgen: Dört kenarı olan ve bütün iç açıları 90° (dik) olan dörtgenlere dikdörtgen adı verilir.
Bu şeklin belirgin özelliklerini şöyle sıralayabiliriz:
- Karşılıklı kenarları birbirine eşit ve paraleldir.
- İç açılarının her biri 90°’dir.
- Köşegenleri (karşı köşeleri birleştiren doğrular) birbirine eşittir.
Özellikle alan hesabında uzun kenar (genelde “boy” diye anılır) ile kısa kenarın (genelde “en” diye anılır) çarpımı kullanılır. Köşegen uzunluğu hesabında ise Pisagor Teoremi en temel formül olarak karşımıza çıkar.
2. Temel Geometrik Terimler ve Ön Bilgiler
Bu problemde kullandığımız bazı temel kavramlar şunlardır:
- Kenar Uzunlukları: Bir dikdörtgenin kısa ve uzun kenarları, alanın belirlenmesinde kilit öneme sahiptir.
- Alan (A): Dikdörtgenin yüzey kaplama miktarıdır ve kısa kenar (k) ile uzun kenar (u) çarpımına eşittir. Formül:A = k \times u
- Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende, “hipotenüs” adı verilen en uzun kenarın karesi, diğer iki dik kenarın kareleri toplamına eşittir. Dikdörtgende köşegen, dik kenarlarla bir dik üçgen oluşturduğundan dolayı bu teoremi kullanmak mümkündür. Formül:\text{Hipotenüs}^2 = \text{Kenar}_1^2 + \text{Kenar}_2^2
- Katsayı/Oran: Bu problemde kısa kenar ile uzun kenar arasında “3 kat” gibi bir oran (3:1) söz konusudur.
Tüm bu ön bilgiler, problemde söz konusu olan dikdörtgenin kenarını, alanını ve nihayetinde köşegenini bulmamıza yardımcı olacaktır.
3. Problemde Verilen Bilgiler
Problemin bize sağladığı net veriler şunlardır:
- Dikdörtgenin kısa kenarı = x (diyeceğiz; bu uzunluğa biz değişken atayacağız).
- Dikdörtgenin uzun kenarı = 3x (çünkü uzun kenar kısa kenarın 3 katıdır).
- Dikdörtgenin alanı = 36 cm².
Bizden istenen:
- Dikdörtgenin köşegeninin uzunluğu.
Köşegen, kısa kenarla uzun kenarı birleştiren çizgi olduğu için doğal olarak, Dikdörtgenin köşegen uzunluğunu bulmak için Pisagor Teoremi kullanacağız.
4. Adım Adım Çözüm Yöntemi
Şimdi, elimizdeki verilerle hareket ederek çözüme adım adım ulaşalım.
4.1. Kısa Kenar ve Uzun Kenara Değişken Atama
Problemi daha iyi yönetebilmek için değişken atayalım:
- Kısa kenar = x
- Uzun kenar = 3x
Bu atama problemdeki “kısa kenarının 3 katı uzun kenar” ifadesini matematiksel olarak temsil eder.
4.2. Dikdörtgenin Alanının Hesaplanması
Verilen alana göre denklem oluşturabiliriz:
Alan formülü:
Problemde:
Kısa kenar = x, uzun kenar = 3x olduğundan:
4.3. Denklemlerin Çözümü ve Kenar Uzunlukları
Yukarıdaki denklem üzerinden x değerini bulalım:
Pozitif uzunluk değeri alacağımız için (geometrik bir uzunluk negatif olamaz):
Dolayısıyla:
- Kısa kenar (x) = ( 2\sqrt{3} ) cm
- Uzun kenar (3x) = ( 3 \times 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} ) cm
4.4. Dikdörtgenin Köşegen Formülü
Bir dikdörtgenin köşegeni, dikdörtgenin iki kenarını dik üçgenin dik kenarları olarak görebileceğimiz için Pisagor Teoremi ile hesaplanır.
Pisagor Teoremi:
4.5. Köşegenin Hesaplanması
Bulduğumuz kenar uzunluklarını yerine koyalım:
Önce karelerini hesaplayalım:
- ((2\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12)
- ((6\sqrt{3})^2 = 36 \times 3 = 108)
Dolayısıyla:
(\sqrt{120}) sayısı şu şekilde sadeleştirilebilir:
Böylece dikdörtgenin köşegen uzunluğu yaklaşık olarak ( 2\sqrt{30} ) cm’dir. İstenirse yaklaşıksal olarak sayısal değeri:
- (\sqrt{30} \approx 5.4772)
- (2 \sqrt{30} \approx 2 \times 5.4772 = 10.9544) cm (yaklaşık)
Bu problemde, genellikle köşegen uzunluğu tam kök şeklinde ifade edildiğinde yeterli kabul edilir. Dolayısıyla kesin ifade (2\sqrt{30}) cm’dir.
5. Ayrıntılı Açıklamalar ve Geometrik Özellikler
Bu bölümde, dikdörtgen ve benzeri doğrusal şekiller üzerinde diğer dikkat edilmesi gereken noktalara değinilecektir.
5.1. Alan ve Kenar Uzunlukları Arasındaki İlişki
Bir dikdörtgenin alan formülü (A = k \times u) en temel tanım olarak bilinir. Verilen alan değerinden yola çıkmak, soruda kenarlarla ilgili ek bilgiler (mesela “uzun kenar kısa kenarın 2 katı”, “3 katı”, “5 eksiği”, “4 fazlası” vb.) olduğu durumda, alan denkleminde sadece bir değişken kullanmamızı sağlar. Böylece problem bir bilinmeyenli denklem hâline iner. Bu yaklaşım karmaşık gibi görünse de en pratik yollardan biridir.
5.2. Pisagor Teoremi Üzerine Detaylı Bilgi
Pisagor Teoremi:
- “(a)” ve “(b)”, dik üçgenin dik kenarları,
- “(c)” ise hipotenüstür.
Dikdörtgende de köşegen, dik kenarları (kısa ve uzun kenar) birleştiren doğru olduğundan bir dik üçgen oluşturur. Bu sebeple, dikdörtgenin köşegen hesabı doğrudan Pisagor Teoremi ile bulunur.
5.3. Dikdörtgen ve Karenin İlişkisi
- Kare, özel bir dikdörtgen türüdür; yani tüm kenarları eşit olan dikdörtgene kare deriz.
- Bu problemde dikdörtgen tam kare değildir, çünkü kısa kenar ile uzun kenar arasında 3 kat fark bulunmaktadır.
5.4. Benzerlik ve Orantı Kavramı
Bu tür problemlerde sık sık “benzer dikdörtgenler” meselesi de gündeme gelebilir. Eğer bir dikdörtgenin kısa kenarı x ve uzun kenarı kx biçimindeyse, başka bir dikdörtgende de aynı orana sahip olmak “benzer” olma durumunu ortaya çıkarır.
Burada 3:1 oranı, tüm benzer dikdörtgenlerde sabittir; yani en ve boy her zaman 3’e 1 oranında değişerek benzerlik korunur.
6. Örnekler, Alternatif Yöntemler ve Sık Yapılan Hatalar
6.1. Benzer Problemlere Örnekler
-
Örnek Soru: Uzun kenarı kısa kenarının 4 katı olan bir dikdörtgenin alanı 80 cm² ise bu dikdörtgenin köşegeni kaç cm’dir?
- Çözüm yaklaşımı gene aynı: Kısa kenar = x, uzun kenar = 4x => (4x^2 = 80) => (x^2=20) => (x=\sqrt{20}) => uzun kenar (4\sqrt{20}). Köşegen de (\sqrt{x^2 +(4x)^2}).
-
Örnek Soru: Kısa kenarı 5 cm, uzun kenarı 12 cm olan bir dikdörtgenin köşegenini bulunuz.
- Bu, geleneksel bir Pisagor uygulaması: (\sqrt{5^2 + 12^2}= \sqrt{25+144}= \sqrt{169}=13).
Her iki örnek de, bu tip soruların özünde benzer tekniklerle çözüldüğünü gösterir.
6.2. Alternatif Yaklaşımlar
- Doğrudan Formül Yaklaşımı: Bir dikdörtgenin alanı (A) ve kenar oranı (r) (uzun kenarı/kısa kenarı) biliniyorsa, kısa kenarı (\sqrt{\frac{A}{r}}), uzun kenarı (r\sqrt{\frac{A}{r}}) olarak hızlıca yazılabilir.
- Önceden Ezbere Yöntem: Herhangi bir “3x” ifadesi gördüğümüzde, problemde “3 kat” sözü geçiyorsa, alan (\rightarrow 3x^2) ifadesi karşımıza çıkar.
6.3. Sık Karşılaşılan Hatalar ve Çözüm Önerileri
- Alanı Yanlış Yorumlamak: Bazı öğrenciler, 3x^2 = 36 denklemini yanlış sadeleştirip x=36/3=12 gibi basit hatalar yapabiliyor; halbuki x^2=12 çıkmaktadır, x=2√3.
- Eksik veya Fazla Kök Almak: x^2=12 ise x=±√12 ama uzunluk “negatif” olamayacağından sadece pozitif alanı değerlendiririz.
- Köşegeni Yanlış Hesaplamak: Köşegeni hesaplarken, (2√3 + 6√3) gibi kenarları yanlışlıkla toplayıp sonuca gitmek doğru değil; köşegen “toplam” değil, kenar kareleri toplamının kareköküyle bulunuyor.
7. Çözüme Dair Geniş Tablo
Aşağıdaki tabloda tüm çözüm adımlarının bir özetini bulabilirsiniz:
| Adım | İşlem Açıklaması | Matematiksel Gösterim | Sonuç |
|---|---|---|---|
| 1. Değişken Atama | Kısa kenar = x, Uzun kenar = 3x | - | k = x, u = 3x |
| 2. Alan Denkleminin Kurulması | Alan = 36 cm² => k × u = 36 | x × (3x) = 36 | 3x² = 36 |
| 3. x’in Bulunması | 3x² = 36 => x² = 12 => x = 2√3 (pozitif) | x = 2√3 | Kısa kenar = 2√3 cm |
| 4. Uzun Kenarın Hesaplanması | Uzun kenar = 3x = 3(2√3) | 6√3 | Uzun kenar = 6√3 cm |
| 5. Köşegen Denklemi (Pisagor) | köşegen² = k² + u² | (2√3)² + (6√3)² | 12 + 108 = 120 |
| 6. Köşegenin Bulunması | köşegen = √120 = 2√30 | köşegen = 2√30 cm |
Bu tablo, problemdeki kritik noktaları ve formülleri tek bir yerde toparlayarak süreci kolayca gözden geçirmenize yardımcı olur.
8. Sonuç ve Genel Değerlendirme
- Problemi çözerken ilk adım, doğru şekilde değişken atamaktır (kısa kenar x, uzun kenar 3x gibi).
- Daha sonra, “alan = 36 cm²” bilgisi sayesinde x değerini bulduk.
- Sonraki adım, Pisagor Teoremi’ni kullanarak köşegen uzunluğunu elde etmektir.
- Elde ettiğimiz köşegen uzunluğu (2\sqrt{30}) cm’dir.
Bu yöntem, matematiksel açıdan en temiz çözümdür. Özellikle bir “dikdörtgen” ve “kat oranı” bilgisi verildiğinde, problem tek bilinmeyenli hale gelir ve oldukça sistematik şekilde çözülebilir.
9. Özet
-
Dikdörtgenin Kenarları
- Kısa kenar: (2\sqrt{3}) cm
- Uzun kenar: (6\sqrt{3}) cm
-
Alan
- (k \times u = 36) cm² (Kat oranı 3 olduğu için (3x^2 = 36))
-
Köşegen Uzunluğu
- Pisagor bağıntısı:\text{köşegen} = \sqrt{(k)^2 + (u)^2}
- Hesaplama adımlarıyla: (\sqrt{ (2\sqrt{3})^2 + (6\sqrt{3})^2 } = \sqrt{12 + 108} = \sqrt{120} = 2\sqrt{30}).
- Pisagor bağıntısı:
-
Yaklaşık Değer
- (2\sqrt{30} \approx 10.95 ) cm (isteğe bağlı yaklaşık değer)
-
Öğrenilen Temel Noktalar
- Dikdörtgenin alanından yararlanarak kenar uzunlukları tek bilinmeyenle bulunur.
- Pisagor Teoremi, köşegen uzunluğunu hesaplamada kritik rol oynar.
- Kenarlar arasındaki “3 kat” ifadesi, denklemi sadeleştirmeyi kolaylaştırır.
Problemin nihai cevabı, 2√30 cm olarak öne çıkar. Bu hem en sade hâli hem de matematik derslerinde genellikle kabul gören bir ifade biçimidir.
Kısa tekrar: Uzun kenarı kısa kenarının 3 katı olan bir dikdörtgenin alanı 36 cm² ise kısa kenar 2√3 cm, uzun kenar 6√3 cm bulunur. Ardından köşegenin uzunluğu 2√30 cm olur.