Sorunuzdaki dikdörtgen ve kare problemine ilişkin çözüm:
Soru 7: Alanı 24 cm² olan dikdörtgenin kenar uzunlukları
Dikdörtgenin Alanı:
Dikdörtgenin alanı formülü:
Alan ( = 24 , \text{cm}^2 ) ve kısa kenar ( AD = 4 , \text{cm} ) olarak verilmiş. Uzun kenarı bulabiliriz:
Verilen Şıklar:
- ( BC = 4 , \text{cm} ) → Doğru
- ( AB = 6 , \text{cm} ) → Doğru
- ( AC = 4 , \text{cm} ) → Yanlış, çünkü ( AC ) dikdörtgenin karşıt köşeleri olduğundan uzunluğu farklıdır.
- ( CD = 6 , \text{cm} ) → Doğru
Yanlış şık: C) ( AC = 4 , \text{cm} )
Soru 8: ABFG dikdörtgeni ve BCDE karesinin boyalı alanı
Kare BCDE ve özellikleri:
Karenin çevresi ( = 28 , \text{cm} ). Çevre formülü:
Karede bir kenarı bulmak için:
Dikdörtgen ABFG’nin Alanı:
( AB = 9 , \text{cm} ), ( FE = 2 , \text{cm} ) veriliyor. Dikdörtgenin kısa kenarı ( FE ), uzun kenarı ( AB’dir ). Alan formülü:
Boyalı Alan:
Karenin alanı:
Toplam boyalı alan:
Doğru Cevap: 67 cm²
Sorularınıza ilişkin başka bir detay ya da açıklama istediğinizde lütfen yazınız! 
Sorunuz:
“Alanı A(ABCD)=24 cm² olan dikdörtgenin [AD]=4 cm ise verilmeyen kenar uzunlukları ile ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?”
Cevap:
Dikdörtgenin kenarları 4 cm ve 6 cm olmalıdır (çünkü 4×6=24). Buna göre:
• [BC] de 4 cm olur (AD ile aynı).
• [AB] ve [CD] 6 cm olur.
• Köşegen [AC] ise AC=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}\approx 7.21 cm’dir, 4 cm olamaz.
Dolayısıyla yanlış olan ifade [AC]=4 cm’dir.
@username
7. Soru: Dikdörtgenin Alanı ve Kenar Uzunlukları
Soru (Özet):
Alanı A(ABCD) = 24 cm² olan bir dikdörtgende |AD| = 4 cm olarak verilmiştir. Verilmeyen kenar uzunluklarına dair seçeneklerden hangisi yanlıştır?
A) |BC| = 4 cm
B) |AB| = 6 cm
C) |AC| = 4 cm
D) |CD| = 6 cm
Bu soruda dikdörtgenin alanı 24 cm² ve bir kenarı 4 cm olarak belirtilmektedir. Dikdörtgenlerin özeliklerine göre (karşılıklı kenarları birbirine eşittir ve alan = kısa kenar × uzun kenar) verilen değeri çözümleyip doğru/yanlış bilgileri bulmamız gerekmektedir.
Adım Adım Çözüm
1. Dikdörtgenin Kenarlarını Belirleme
-
Dikdörtgende karşılıklı kenarlar eşittir:
- AD, BC’ye eşit
- AB, DC’ye eşit
-
Verilen:
- |AD| = 4 cm
- Alan(ABCD) = 24 cm²
Bir dikdörtgenin alanı, uzun kenar × kısa kenar şeklinde bulunur. Burada AD dikdörtgenin bir kenarı ise, diğer kenar olan AB (ya da DC) şöyle hesaplanır:
Dolayısıyla:
Buradan:
2. Karşılıklı Kenarların Eşitliği
- |AD| = 4 cm ise, |BC| de 4 cm olacaktır (dikdörtgenin paralel kenarları aynı uzunluktadır).
- |AB| = 6 cm ise, |DC| de 6 cm olacaktır.
3. Köşegeni (AC) Ölçme
Seçeneklerde dikkat çeken ifade, |AC| = 4 cm şeklindedir. Ancak AC dikdörtgenin köşegenidir. Dikdörtgendeki köşegenin uzunluğu, Pisagor Teoremi kullanılarak bulunur:
Dolayısıyla:
Bu yaklaşık 7,21 cm iken seçenek C’de |AC| = 4 cm denmektedir. Bu değer hem 4 cm olarak doğrudan verilmektedir hem de dikdörtgenin köşegenine ait olamayacak kadar küçüktür. Dolayısıyla yanlış olan seçenek budur.
4. Sonuç ve Doğru Cevap
- |BC| = 4 cm → Doğru
- |AB| = 6 cm → Doğru
- |AC| = 4 cm → Yanlış (aslında √52 cm olmalı)
- |CD| = 6 cm → Doğru
Bu nedenle soruda “verilenlerden hangisi yanlıştır?” denildiğinde, cevap (C) |AC| = 4 cm olur.
Soru 7 İçin Özet Tablo
| Kenar/Köşegen | Hesaplanan/Verilen Uzunluk | Doğruluk Durumu |
|---|---|---|
| AD (verilen) | 4 cm | Doğru (soru koşulu) |
| BC | 4 cm | Doğru (AD ile eş) |
| AB | 6 cm | Doğru (24 / 4) |
| CD | 6 cm | Doğru (AB ile eş) |
| AC (köşegen) | √52 cm ≈ 7,21 cm | Gerçek değeri budur |
| “AC = 4 cm” | (Seçenek C) | Yanlış |
8. Soru: Dikdörtgen ve Karenin Birleşik Alanı
Soru (Özet):
Şekilde ABFG bir dikdörtgen, BCDE ise bir karedir. Karenin çevresi 28 cm, |FE| = 2 cm ve |AB| = 9 cm olarak verilmektedir. Buna göre boyalı alan (iki şeklin toplam alanı) kaç cm²’dir?
Seçenekler:
A) 84
B) 90
C) 94
D) 98
Burada iki farklı şekil (biri dikdörtgen, diğeri kare) birbirine bitişik biçimde durmaktadır. Kare BCDE’nin bir kenarı kare çevresinden hareketle bulunabilir, dikdörtgen ABFG ise verilen kenarlarından hesaplanacaktır. Sonra bu iki alan toplanarak sorunun istediği “boyalı alan” elde edilir.
1. Karenin Kenar Uzunluğunu Belirleme
Karenin çevresi 28 cm olarak verilmiştir. Bir karenin çevresi,
olduğundan:
Dolayısıyla:
Yani BCDE karesinin her bir kenarı 7 cm’dir. Dolayısıyla kare alanı:
2. Dikdörtgen ABFG’yi Anlama
Dikdörtgenin alt kenarı AB verilmiştir: |AB| = 9 cm. Ancak bu dikdörtgenin yüksekliği doğrudan verilmemiştir. İşte |FE| = 2 cm ifadesi burada devreye girer.
Soruda çizime göre bir dikey veya yatay fark söz konusu olabilir (şekil incelendiğinde F ile E arasında 2 cm fark bulunmaktadır). Çoğunlukla bu tip sorularda kare ve dikdörtgenin üst kenarları veya alt kenarları belirli bir farkla çakışır. Yorumlamaları şu şekilde özetleyebiliriz:
- BCDE karedir ve boyu = 7 cm.
- ABFG dikdörtgenin üst kenarı ile karenin üst kenarı arasında (F ile E arasında) 2 cm’lik bir mesafe vardır. Bu genellikle “toplam yükseklikler arasındaki fark” olarak karşımıza çıkar.
Dolayısıyla dikdörtgenin yüksekliği = karenin kenarı (7 cm) – 2 cm = 5 cm şeklinde yorumlanır. (Şekil üzerinde “F” noktasının kareyle aynı hizaya gelmediği, 2 cm’lik bir farklılık olduğu sıklıkla bu tür sorularda “alt veya üst kenarların ötelemesi” olarak kullanılır.)
Böylece:
- Dikdörtgen ABFG:
- Genişlik (AB) = 9 cm
- Yükseklik (AF ya da BG) = 5 cm
3. Dikdörtgenin Alanını Hesaplama
Dikdörtgendeki alan formülü yine “genişlik × yükseklik” şeklindedir:
Verilere göre:
Dolayısıyla:
4. İki Alanın Toplanması
Boyalı bölge, hem ABFG dikdörtgeninin hem de BCDE karedirinin kapladığı ortak veya bitişik alanların toplamıdır. İki bölge üst üste binmeyip bitişik durumdaysa, toplam alan direkt iki alanın toplamına eşittir:
- Karenin alanı = 49 cm²
- Dikdörtgenin alanı = 45 cm²
Toplam boyalı alan:
5. Doğru Şıkkı Belirleme
Seçeneklere bakıldığında:
- A) 84
- B) 90
- C) 94
- D) 98
Sonuç 94 cm² olduğundan doğru cevap (C) olacaktır.
Soru 8 İçin Özet Tablo
| Şekil | Verilen Bilgiler | Hesaplanan Değer | Açıklama |
|---|---|---|---|
| Kare (BCDE) | Çevre = 28 cm → Kenar = 7 cm | Alan = 49 cm² | Karenin her kenarı 7 cm olup 7 \times 7 = 49 |
| Dikdörtgen (ABFG) | AB | = 9 cm, | |
| Toplam Alan | İki şeklin alanlarının toplamı | 49 + 45 = 94 cm² | Soru “boyalı alan”ı sorduğu için ikisinin alan toplamı alındı |
Geniş Kapsamlı Açıklamalar ve Ek Bilgiler
Aşağıda, konuyu daha da iyi pekiştirmek isteyen öğrenciler için dikdörtgen ve kare problemlerine dair ek bilgi, stratejiler, sık yapılan hatalar ve pratik ipuçlarından söz edeceğiz. Bu kısımda ayrıca uzun bir anlatımla, özellikle geometri sorularında adım adım düşünmenin önemini açacağız.
Dikdörtgenin Temel Özellikleri
- Karşılıklı kenarlar eşittir ve paraleldir: Bir dikdörtgende AB ∥ DC ve AD ∥ BC’dir.
- Açıları 90°’dir: Dört iç açı da dik (90°) açıya sahiptir.
- Alan Formülü:\text{Alan (Dikdörtgen)} = \text{Kısa Kenar} \times \text{Uzun Kenar}
- Köşegen Uzunluğu: Bir dikdörtgenin köşegeni Pisagor bağıntısıyla hesaplanır:\text{köşegen} = \sqrt{\text{kısa kenar}^2 + \text{uzun kenar}^2}
Soru 7’de de gördüğümüz üzere, 4 cm ve 6 cm kenarlarına sahip bir dikdörtgenin köşegeni \sqrt{52} cm olmaktadır.
Sık Yapılan Hatalar
- Köşegeni kenarla karıştırmak: Bazı öğrenciler, köşegeni “dik kenarlardan biri” gibi düşünerek, hatalı sonuçlar elde edebilir.
- Kenarlar ile alanı ilişkilendirmede yanlış işlem: Alan 24 cm² iken, kenarlardan biri 4 cm olduğunda diğerinin 6 cm olduğu kolayca görülür. Ama bazen bu basit bölmeyi atlayanlar yanılgıya düşebilir.
Karenin Temel Özellikleri
- Tüm kenarları eşit ve tüm açıları 90°: Bir karede dört kenar da eşit, dört iç açı da diktir.
- Çevre Formülü:\text{Karenin çevresi} = 4\times (\text{karenin bir kenarı})
- Alan Formülü:\text{Alan (Kare)} = (\text{karenin bir kenarı})^2
Soru 8’deki kare için çevre 28 cm ise bir kenar 7 cm olarak hızlıca belirlenir.
Birleşik Şekillerde Alan Bulma Stratejileri
Birden fazla geometrik alanın birleşimi söz konusu olduğunda sıklıkla şu yol izlenir:
- Şekli Tanımlayın: Hangi geometrik biçimlerden oluşuyor? Dikdörtgen + kare, dikdörtgen + üçgen vb.?
- Her Şeklin Alanını Ayrı Ayrı Hesaplayın: Eğer şekiller üst üste binmiyor veya kesişimleri kolay hesaplanabilir ise “alanları topla/çıkart” yaklaşımı kullanılır.
- Kesişim Varsa Dikkat: Örneğin iki şeklin üst üste geldiği bir bölge varsa, o bölgeyi gereğinden fazla kez saymamak için kesişim alanını incelemek gerekir. Fakat Soru 8’de şekiller bitişik (yan yana veya alt üst) verilmiştir, dolayısıyla kesişimli alan yoktur.
- Verilen Ek Bilgileri Değerlendirin: |FE|=2 cm gibi bir bilgi, çoğu zaman “yükseklik farkı” veya “ek ölçüm” olarak karşımıza çıkar.
Uygulamada İpuçları
- Görseli Gayet Net İnceleyin: Şekilde hangi noktalar aynı hizadadır? Hangileri farklı bir düzleme kaymıştır?
- Verileri Kontrol Edin: Her “santimetre” ifadesinin yatay mı dikey mi olduğunu, ya da bir köşegen mi olduğunu iyi analiz edin.
- Mantıksal Uyum: Hesapladığınız sonuçların mantıklı olup olmadığını (alttaki dikdörtgenin yüksekliğinin, bir kare kenarından biraz az olması vb.) kontrol edin.
Detaylı Bir Yaklaşım Örneği (Soru 8’e Dair)
-
Karenin Kenarlarını Bulma:
- Verilen çevre 28 cm. Bir karede kenar uzunluğu = 28 ÷ 4 = 7 cm.
-
Dikdörtgenin Bir Kenarı (9 cm):
- Alt uzunluk AB = 9 cm.
-
Yükseklik için Ek Bilgi (|FE| = 2 cm):
- Genelde bu tür sorularda, kare ile dikdörtgenin üst kenarları tamamen hizalı olsaydı, ikisinin yükseklikleri de aynı olurdu. Ama burada 2 cm fark olduğu belirtilmiş.
- Şekle göre kare 7 cm yüksekliğe sahip, dikdörtgen ise 5 cm. Aradaki fark 2 cm.
-
Alanlar:
- Alan(kare) = 7 × 7 = 49 cm².
- Alan(dikdörtgen) = 9 × 5 = 45 cm².
-
Toplam:
- 49 + 45 = 94 cm².
Bu oldukça tipik bir yaklaşım olup, sınavlarda karşılaşılabilen “bitişik kare + dikdörtgen” türünden soruların çoğunda benzer mantıkla hareket edilir. Seçeneklerde 94 cm² bulunduğu için de cevap netleşir.
Özet ve Son Değerlendirme
-
Soru 7: Dikdörtgenin bir kenarı 4 cm, alanı 24 cm² ise diğer kenarı 6 cm olmalıdır. Böylece köşegenin (AC) uzunluğu \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{52} \approx 7,21 cm olur. “AC = 4 cm” ifadesi açıkça yanlıştır, dolayısıyla doğru cevap **(C)**dir.
-
Soru 8: Karenin çevresi 28 cm’den kenar 7 cm bulunur, dikdörtgenin alt kenarı 9 cm ise yükseklik 5 cm olarak belirlenir (|FE| = 2 cm farkla). Alanlar toplamı 49 + 45 = 94 cm² ve uygun seçenek **(C)**dir.
Bu tür sorularda en önemli nokta, verilen ölçüleri doğru bir şekilde yorumlamak ve farklı geometrik şekilleri ayrı ayrı hesaplayarak birleştirmektir. Sınavlarda ya da testlerde sık rastlanan hatalar genellikle, ya köşegenlerin doğrudan kenar sanılması (yani dikdörtgende veya karede köşegeni yanlış almak) ya da verilen mesafenin yanlış yorumu (örneğin 2 cm farkın şekillerin yatay mı dikey mi olduğu sorusunu gözden kaçırmak) şeklinde karşımıza çıkar.