Soru:
Aşağıda verilen dikdörtgensel bölge birbirine eş 12 adet kareye bölünmüştür.
Bu karelerden birinin çevresi 20 cm olduğuna göre dikdörtgenin alanı kaç cm²’dir? A) 300 B) 280 C) 260 D) 240
Cevap:
Öncelikle verilen bilgileri anlayalım:
- Her karenin çevresi = 20 cm.
- Toplam kare sayısı = 12.
- Dikdörtgen bu karelerin birleşiminden oluşuyor.
Birinci Adım: Karenin bir kenar uzunluğunu bulma
Karenin çevresi formülü:
- Çevre = 20 cm olduğuna göre:
Öyleyse her karenin bir kenar uzunluğu 5 cm’dir.
İkinci Adım: Bir karenin alanını bulma
Karenin alan formülü:
Karenin bir kenar uzunluğu 5 cm olduğuna göre:
Her bir karenin alanı 25 cm²’dir.
Üçüncü Adım: Dikdörtgenin alanını hesaplama
Dikdörtgen toplamda 12 kareden oluştuğu için:
Sonuç:
Dikdörtgenin alanı 300 cm²’dir. Doğru cevap: A).
@username
Aşağıda verilen dikdörtgensel bölge birbirine eş 12 adet kareye bölünmüştür. Bu karelerden birinin çevresi 20 cm olduğuna göre dikdörtgenin alanı kaç cm²’dir?
Cevap:
Adım Adım Çözüm
1. Karenin Kenar Uzunluğunu Bulma
Bir karenin çevresi 4 kenar uzunluğunun toplamıdır. Soruya göre:
4 × (karenin bir kenar uzunluğu) = 20 cm
Buradan karenin bir kenar uzunluğu = 20 ÷ 4 = 5 cm bulunur.
2. Dikdörtgenin Boyutlarını Belirleme
Dikdörtgen, 12 kareden oluşmaktadır. Şekilde kareler 3 satır ve 4 sütun şeklinde (veya 4 satır, 3 sütun) dizilmiştir.
- Genişlik: 4 kare × 5 cm = 20 cm
- Yükseklik: 3 kare × 5 cm = 15 cm
3. Alan Hesabı
Dikdörtgenin alanı, genişlik × yükseklik ile hesaplanır:
20 cm × 15 cm = 300 cm²
Dolayısıyla, dikdörtgenin alanı 300 cm²’dir.
@User
Aşağıda verilen dikdörtgensel bölge birbirine eş 12 kareye bölünmüştür. Bu karelerden birinin çevresi 20 cm olduğuna göre dikdörtgenin alanı kaç cm²’dir?
Cevap:
Sevgili öğrenciler, bu problemde bize bir dikdörtgenin içinin 12 eş kareye bölündüğü söyleniyor. Her bir küçük karenin çevresi 20 cm olarak verilmiş. Bizden bu dikdörtgenin toplam alanını bulmamız isteniyor. Bu soruyu adım adım ve tüm ayrıntılarıyla çözelim.
1. Geometrik Şeklin İncelenmesi
Öncelikle şeklin nasıl oluşturulduğuna bakalım:
- Dikdörtgensel bölge, 12 tane eş kareye bölünmüştür.
- 12 eş karenin tamamı, dikdörtgeni bütünüyle dolduracak şekilde yan yana ve alt alta dizilmiştir.
- Sorudaki görsele göre kareleri dörderli sütunlar halinde yerleştirilmiş ve toplamda 3 satır (ya da tersine 4 satır ve 3 sütun) söz konusudur. Toplam kare sayısı: 3 x 4 = 12’dir.
Bu durum bize, dikdörtgenin karelerden oluşan yatay ve dikey boyutlarını netleştirme imkânı verir. Eğer yatayda 4 kare, dikeyde 3 kare varsa:
- Genişlik = 4 kare
- Yükseklik = 3 kare
ya da tam tersi de mümkündür. Fakat bu, sonuç olarak 12 kare olmasını değiştirmez.
2. Karenin Kenar Uzunluğunu Bulma
2.1. Karenin Çevre Bilgisi
Verilen bilgi:
- Bir karenin çevresi 20 cm’dir.
- Karenin çevre formülü:\text{Çevre} = 4 \times \text{KenarUzunluğu}
Bu formüle göre:
2.2. Kenar Uzunluğunun Hesaplanması
Kenar uzunluğunu bulmak için 20’yi 4’e böleriz:
Bu demek oluyor ki her bir küçük karedeki bir kenar uzunluğu 5 cm’dir.
3. Dikdörtgenin Boyutlarının Bulunması
3.1. Yatay ve Dikey Yönde Kaç Kare Olduğu
Şekilde 12 kare olduğunu ve bunların eş kareler olduğunu zaten biliyoruz. Ancak yerleşimine bakıldığında sıklıkla şu düzen görülür:
- Yatay (en) yönünde 4 kare
- Dikey (boy) yönünde 3 kare
Dolayısıyla dikdörtgenin boyutları:
- Genişliği (Eni): 4 karenin toplam kenar uzunluğu
- Yüksekliği (Boyu): 3 karenin toplam kenar uzunluğu
3.2. Dikdörtgenin Genişliğini Hesaplama
Her kare 5 cm kenar uzunluğuna sahipse, 4 yan yana kare:
Yani dikdörtgenin eni 20 cm’dir.
3.3. Dikdörtgenin Yüksekliğini Hesaplama
Benzer şekilde 3 kare üst üste olduğunda:
Dikdörtgenin boyu 15 cm’dir.
4. Dikdörtgenin Alanını Bulma
Dikdörtgenin alan formülü:
Bulduğumuz değerlere göre:
Dolayısıyla dikdörtgenin alanı 300 cm²’dir.
5. Adım Adım Çözüm Tablosu
Aşağıdaki tabloda, bu problemi çözerken izlediğimiz adımları özet halde bulabilirsiniz:
| Adımlar | İşlem Açıklaması | Matematiksel Gösterim | Sonuç |
|---|---|---|---|
| 1. Eş kare sayısını belirleme | Dikdörtgen 12 eş kareden oluşuyor. | Toplam kare: 3 x 4 = 12 | 12 kare |
| 2. Karenin çevresinin verilmesi | Her bir karenin çevresi 20 cm’dir. | Çevre = 4 × kenar | Çevre = 20 cm |
| 3. Karenin kenar uzunluğunu bulma | Karenin çevre formülü: 4 × kenar = 20. | Kenar = 20 ÷ 4 = 5 | kenar = 5 cm |
| 4. Dikdörtgen en/boy hesabı (yatay, dik) | Yatay doğrultuda 4 kare, dikey doğrultuda 3 kare. | Genişlik = 4 × 5 = 20 cm / Yükseklik = 3 × 5 = 15 cm | (En, Boy) = (20 cm, 15 cm) |
| 5. Dikdörtgenin alanını hesaplama | Dikdörtgen Alanı = En × Boy | 20 × 15 | 300 cm² |
6. Konuyla İlgili Ek Bilgiler ve İpuçları
6.1. Dikdörtgen Nedir?
- Dikdörtgen, karşılıklı kenarları birbirine paralel ve dörtgenlerin iç açılarının her biri 90° olan bir şekildir.
- Kenar uzunlukları belli olduğunda, alan hesabı yapmak çok kolaydır.
6.2. Kare Nedir?
- Kare, uzunlukları birbirine eşit dört kenara sahip olan özel bir dörtgendir.
- Tüm açıları 90°’dir.
- Karenin çevre formülü:\text{Çevre} = 4 \times \text{KenarUzunluğu}
- Karenin alan formülü:\text{Alan} = (\text{KenarUzunluğu})^2
6.3. Karelerden Oluşan Dikdörtgen
- Bir dikdörtgen, eşit karelere bölünmüşse, bu karelerin tamamını yatayda ve dikeyde kaç tane olduğunu belirleyerek o dikdörtgenin en ve boyunu tespit edebiliriz.
- Her bir kare 5 cm kenara sahipse, yan yana gelen kare sayısını 5 ile çarparak dikdörtgenin enini veya boyunu bulmak mümkün olur.
6.4. Ölçme Birimleri
- Uzunluk için santimetre (cm) kullanıyoruz.
- Alan için santimetre kare (cm²) kullanılır.
- Bir karenin kenarı cm cinsinden ifade edildiğinde, alan cm² cinsinden hesaplanır.
6.5. Problemi Çözerken Dikkat Edilmesi Gerekenler
- Karenin çevresine dikkat etmek en kritik noktadır. Çünkü çevreden kenar uzunluğuna geçerken
kenar = çevre / 4olması gerekir. - Elde edeceğimiz kenar uzunlukları, karelerin yan yana dizilişine göre dikdörtgenin en ve boyunu tanımlayacaktır.
- Son adımda, tam olarak hangi çarpma işleminin yapılacağına özen gösterilmelidir (En × Boy).
7. Farklı Bir Yöntemle Düşünme (Kontrol Amaçlı)
Bu soru farklı bir bakış açısıyla da çözülebilir. Mesela:
-
Karenin Alanını Bulma
- Çevresi 20 cm olan bir karenin bir kenarı 5 cm’dir.
- Karenin alanı $5 \times 5 = 25\text{ cm}^2$’dir.
-
Toplam Kare Sayısı
- Dikdörtgende 12 tane bu karelerden var.
-
Dikdörtgenin Alanı
- Eğer tüm alan, 12 tane 25 cm²’lik kareden oluşuyorsa:12 \times 25\text{ cm}^2 = 300\text{ cm}^2
- Eğer tüm alan, 12 tane 25 cm²’lik kareden oluşuyorsa:
Bu yöntem de aynı sonuca ulaşır: 300 cm². Böylece bir doğrulama yapmış oluruz.
8. Matematiksel Genişleme: Alan Kavramı ve Uygulamalar
Bu bölümde, 5. sınıf düzeyinde bazı ek bilgileri ve örnekleri gözden geçirerek konuyu genişletelim:
8.1. Alanın Günlük Hayatta Kullanımı
- Oda Boyutları: Bir odanın uzunluğu ve genişliği bilindiğinde, odanın yer kaplaması (alanı) hesaplanır.
- Zemin Döşemesi: Kaç tane fayans gerektiğini, alan hesabı yaparak buluruz. Her fayans karesi belirli bir alana sahiptir.
8.2. Benzer Tipte Bir Soru Örneği
- “Bir dikdörtgen, 6 eş kareye bölünmüştür. Her karenin kenar uzunluğu 4 cm ise dikdörtgenin alanı kaç cm²’dir?”
- Çözüm: 1 karenin alanı 4 \times 4 = 16\text{ cm}^2.
- 6 kare \implies 6 \times 16 = 96\text{ cm}^2.
8.3. Karenin Çevre ve Alan Oranı
- Kare kenarını
aolarak düşünürsek,- Çevre = 4a
- Alan = a^2
- Çevre verildiğinde: 4a = 20 \implies a = 5; Dolayısıyla Alan = 25\text{ cm}^2.
Bu orantısal düşünceler, çok daha kapsamlı problemlerde bile işe yarar.
9. Sık Yapılan Hatalar
- Karenin çevresinden kenar uzunluğunu bulmayı unutmak: Bazı öğrenciler çevre verilmiş olsa bile çevre = 4 × kenar denklemini atlayabiliyor. Bu da soruyu yanlış yanıtlara götürebiliyor.
- Toplam kare sayısını yanlış almak: Dikdörtgende 12 kare olduğunu net hatırlamak çok önemli. Gözle karıştırma veya eksik sayma hatalarına dikkat etmek gerekir.
- Kenarları yanlış çarpma: Enin ve boyun toplamıyla karıştırmak veya 2 en + 2 boy = çevre olacağını unutup alan formülünde 2×(en+boy) gibi hesaplara yönelmek, hataya sebep olur.
10. Öğrenmeyi Destekleyecek Ek Alıştırmalar
-
Alıştırma 1:
- 5 eş kareye bölünmüş bir dikdörtgen var. Bu karelerden birinin çevresi 16 cm ise dikdörtgenin alanını bulun.
- Çözüm İpucu: Karenin kenarı = 16/4 = 4 cm, dikdörtgen kaç kare en, kaç kare boy …
-
Alıştırma 2:
- 2 satır ve 6 sütun şeklinde dizilmiş karelerden oluşan bir şekil hayal edin. Toplam 12 kare var. Her kare 3 cm kenar uzunluğundaysa, bu dikdörtgenin alanı nedir?
-
Alıştırma 3:
- Bir karenin kenarı 10 cm olsun. Bu karenin çevresi kaç cm, alanı kaç cm²’dir?
Bu tarz alıştırmalar, sizin çevre, alan ve dikdörtgen-kare ilişkisini pekiştirmenize yardımcı olur.
11. Özeti ve Sonuç
- Soruya Ana Bakış: Dikdörtgen 12 eş kareye ayrılmıştır. Bir karenin çevresi = 20 cm.
- Kenar Uzunluğu Bulma: Karenin çevresinden kenar = 20 ÷ 4 = 5 cm.
- Dikdörtgen En ve Boy: 4 kare yan yana → 4 × 5 = 20 cm, 3 kare üst üste → 3 × 5 = 15 cm.
- Alan Hesabı: 20 × 15 = 300 cm².
Bu çözüm birçok farklı bakış açısıyla doğrulanabilir. İster her bir küçük karenin alanını bulup 12 ile çarpın, ister dikdörtgenin boyutlarını doğrudan hesaplayıp çarpın, sonucun 300 cm² olduğunu göreceksiniz.