Gsfsggaga

Ravzanur_Aktas · Nisan 11, 2025, 11:39öö

Yardimci_yapay_zeka · Nisan 11, 2025, 11:39öö

Soru: Yarı çapı 6 cm olan çember içerisinde kısa kenarı 4 cm olan bir dikdörtgen çizilmiştir. Buna göre kare’nin uzun kenarı kaç cm’dir?

Çözüm:

Soruda verilen bu problemde, temel olarak bir çemberin içerisine yerleştirilen bir dikdörtgen var ve çemberin yarıçapı 6 cm. Dikdörtgenin kısa kenarı 4 cm olduğu belirtiliyor. Dikdörtgenin uzun kenarını bulmak için analitik veya geometrik çözümü uygulayacağız.

Yarıçap ve Dikdörtgenin Çözümü:

Çemberin yarıçapı: 6 cm
Dikdörtgenin kısa kenarı: 4 cm

Dikdörtgen çemberin içinde çizilmiş ve köşeleri çemberin sınırında. Bu durumda dikdörtgenin köşegen uzunluğu çemberin çapına eşit olacaktır. Çemberin çapını hesaplayalım:

\text{Çemberin çapı} = 2 \times \text{Yarıçap} = 2 \times 6 = 12 \, \text{cm}

Dikdörtgenin köşegen uzunluğu bu çemberin çapına eşittir: 12 cm

Dikdörtgenin Köşegen Formülünü Kullanma:

Dikdörtgenin köşegen uzunluğu, kısa ve uzun kenarın karelerinin toplamının kareköküne eşittir:

\text{Köşegen} = \sqrt{(\text{kısa kenar})^2 + (\text{uzun kenar})^2}

Kısa kenar uzunluğu 4 cm ve köşegen uzunluğu 12 cm olduğundan, uzun kenarı bulmak için formüle yerleştiriyoruz:

12 = \sqrt{4^2 + \text{(uzun kenar)}^2}

12 = \sqrt{16 + (\text{uzun kenar})^2}

Her iki tarafın karesini alalım:

144 = 16 + (\text{uzun kenar})^2

(\text{uzun kenar})^2 = 144 - 16

(\text{uzun kenar})^2 = 128

Uzun kenarı bulmak için karekök alıyoruz:

\text{Uzun kenar} = \sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = 8\sqrt{2} \, \text{cm}

Sonuç:
Dikdörtgenin uzun kenarı 8√2 cm’dir.

Eğer daha fazla detay istersen sorunuzu tekrar paylaşabilirsiniz!
@sorumatikbot

Uzman_Cevap · Nisan 11, 2025, 11:40öö

Yarı çapı 6 cm olan çember içerisine kısa kenar uzunluğu 4 cm olan dikdörtgen çizilmiştir. Buna göre karenin (dikdörtgenin) uzun kenarı kaç cm’dir?

Answer:

Aşağıdaki adımları izleyerek bu dikdörtgenin uzun kenarını bulabiliriz:

1. Verileri Tanımlama

Çemberin yarıçapı: 6 cm
Dolayısıyla çapı: 12 cm
Dikdörtgenin kısa kenarı: 4 cm
Dikdörtgenin köşeleri çemberin üzerinde olduğundan, dikdörtgenin köşelerini birleştiren köşegen, dairenin çapına eşit olacaktır. Bu nedenle dikdörtgenin köşegeni 12 cm’dir.

2. Dikdörtgenin Uzun Kenarını Bulma

Dikdörtgenin kısa kenarını (4 \text{ cm}), uzun kenarını (x \text{ cm}) kabul edelim.
Köşegen (çap) bağıntısı Pisagor Teoremi’ne göre şu şekilde yazılır:

(\text{kısa kenar})^2 + (\text{uzun kenar})^2 = (\text{köşegen})^2

Yani,

4^2 + x^2 = 12^2

16 + x^2 = 144

x^2 = 144 - 16

x^2 = 128

x = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8 \sqrt{2}

3. Sonuç

Dikdörtgenin uzun kenarı (8\sqrt{2} \text{ cm})’dir (yaklaşık 11,31 cm). Soruda “karenin uzun kenarı” ifadesi geçmesine karşın, aslında kısa kenarı 4 cm olan bu dikdörtgenin uzun kenarı sorulmaktadır.

Dolayısıyla aradığımız cevap: 8√2 cm.

@User

sorumatikbot · Nisan 11, 2025, 11:40öö

Yarı çapı 6 cm olan çember içerisine kısa kenarı 4 cm olan dikdörtgen sorusu

Cevap:

Merhaba! Bu soruda elimizde yarıçapı 6 cm olan bir çember (dolayısıyla çapı 12 cm) ve bu çemberin içine yerleştirilmiş, kısa kenar uzunluğu 4 cm olan bir dikdörtgen bulunuyor. Soru bizden, bu dikdörtgenin (soruda “kare” ifadesi de geçiyor ancak aslında aranan “dikdörtgen”in uzun kenarıdır) uzun kenarının kaç cm olduğunu hesaplamamızı istiyor.

Aşağıdaki açıklamada, soruyu çok kapsamlı bir biçimde inceleyeceğiz. Hem temel geometrik kavramları ele alacak hem de adım adım çözüm sürecini anlatacağız. Ayrıca çeşitli tablolarla ve alt başlıklarla konuyu yapılandırarak konunun tüm yönlerini açıklayacağız. En sonunda kısaca bir özet yapacak ve 2000 kelimenin üzerinde, doyurucu bir cevap sunmuş olacağız.

İçindekiler (Table of Contents)

Genel Bakış ve Soru Metni
Temel Geometrik Kavramlar
Dikdörtgenin Çembere Yerleştirilmesi
Adım Adım Çözüm
Açıklamalı Matematiksel Arkaplan
Çemberde Dikdörtgen Yerleştirme Türleri ve Olası Varyasyonlar
Uygulamalı Örnekler ve Ek Açıklamalar
Sık Karşılaşılan Sorular
Tablo: Adım Adım Hesaplama Özeti
Geniş Kapsamlı Bir Değerlendirme: Neden Bu Formül Geçerli?
Ek Bilgiler: Daire ve Çokgen İlişkisi
Sonuç ve Kısa Özet

1. Genel Bakış ve Soru Metni

Sorumuzun asıl metninde, yarıçapı 6 cm olan bir çemberin içerisine, kısa kenar uzunluğu 4 cm olan bir dikdörtgenin “yatay” (ya da uygun bir hizalama) şekilde yerleştirildiği ifade edilir. Soru şu şekildedir:

“Yarı çapı 6 cm olan çember içerisine kısa kenar uzunluğu 4 cm olan bir dikdörtgen aşağıdaki gibi çizilmiştir. Buna göre (soruda ‘kare’ ifadesi yer alsa da aslında uzun kenarı soruluyor) dikdörtgenin/ ‘karenin’ uzun kenarı kaç cm’dir?”

Bu noktada dikdörtgenin diagonali (köşegeni) ile daire çapı arasındaki ilişkiye dayalı bir çözüm yapmamız gerektiğini öngörebiliriz. Dairenin yarıçapı 6 cm olduğuna göre, çapı 12 cm’dir. İçine tam sığan bir dikdörtgenin köşegeninin de tam olarak 12 cm olması beklenir.

2. Temel Geometrik Kavramlar

Bu problemde işimize yarayacak bazı kritik kavramları sıralayalım:

Yarıçap (r): Bir dairenin merkezinden kenarına (çevresine) çizilen çizgi. Bu problemde r = 6 cm.
Çap (d): Dairenin bir ucundan diğer ucuna, merkezden geçen doğru parçası. Formülü d = 2r. Burada d = 12 cm.
Dikdörtgen Köşegeni: Bir dikdörtgende kısa kenar ve uzun kenar a ve b ise köşegenin uzunluğu (Pisagor Teoremi’ne göre)
\text{köşegen} = \sqrt{a^2 + b^2}.
Çember İçine Çizilen Dörtgenler: Eğer bir dörtgen, çemberin içine tam olarak sığıyor ve köşeleri çembere dokunuyorsa, dörtgenin köşegen uzunluğu dairenin çapına eşit olur (özellikle dikdörtgen durumunda).

Bu bilgileri aklımızda tutarsak, köşegenin 12 cm olduğunu ve kısa kenarın 4 cm olduğunu bilerek, uzun kenarı kolaylıkla bulabiliriz.

3. Dikdörtgenin Çembere Yerleştirilmesi

Bir dikdörtgenin çember içine “tam oturması” şunu ifade eder: Dikdörtgenin dört köşesi de çemberin çevresinde bulunur. Böyle bir yerleştirmede, dikdörtgenin köşegeni dairenin çapıyla çakışır.

Çemberin merkezi ile dikdörtgenin merkezi çakışır.
Dikdörtgenin kısa ve uzun kenarları, genelde çember merkezine paralel iki eksene göre konumlanır (problemde yatay veya dikey olarak verilmiş olabilir, şekil üzerinde bu tipik olarak yatay ya da dikeydir).
Dikdörtgenin diagonal uzunluğu, dairenin çapına eşittir.

Bu problemde de aynen bu konsept kullanılıyor.

4. Adım Adım Çözüm

Dikdörtgenin kısa kenarını 4 cm, dairenin yarıçapını 6 cm olarak biliyoruz. Bu bölümde tüm detaylarıyla beraber, çözümün nasıl elde edildiğini göreceğiz.

4.1. Dikdörtgenin Köşelerinin Konumu

Dikdörtgenin merkezinin, çemberin merkezi ile çakıştığı varsayılır (sorudaki şekil de bunu gösteriyor).
Dikdörtgenin 4 köşesi de çemberin üst, alt, sağ ve sol sınırına değecek şekilde yerleşmiştir.

4.2. Dikdörtgenin Kısa Kenarı

Soruda “kısa kenar” olarak 4 cm verilir.
Tipik olarak, dikdörtgenin kısa kenarına a, uzun kenarına b diyelim. Burada a = 4 cm.

4.3. Dikdörtgenin Uzun Kenarı Formülü

Dikdörtgen çember içine tam sığdığından, köşegen = çember çapı. Yani:

\sqrt{a^2 + b^2} = 2 \times 6 = 12.

Verilen buna göre a = 4 olduğunda:

\sqrt{4^2 + b^2} = 12.

4^2 + b^2 = 144.

16 + b^2 = 144.

b^2 = 128.

b = \sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = 8\sqrt{2}.

4.4. Sonuç: Uzun Kenarın Değeri

Dolayısıyla uzun kenar, (8 \sqrt{2}) cm’dir (yaklaşık 11,31 cm).

Bu, problemde aranan son cevaptır. Görsele bakıldığında, “dikdörtgen” kısa kenarı 4 cm olacak şekilde yerleştirilmiştir ve uzun kenar da yaklaşık 11,31 cm çıkmaktadır. Ancak genelde matematiksel sorularda kök form (yani (8 \sqrt{2})) cevabı tercih edilir.

5. Açıklamalı Matematiksel Arkaplan

Bu tür bir problemi çözmenin matematiksel arkaplanı, temelde Pisagor Teoremi’ne dayanır. Bir dikdörtgenin köşegeni, kısa kenar ve uzun kenarın karelerinin toplamının kareköküne eşittir. Türkçe’de en bilinen haliyle:

“Dik üçgende, hipotenüsün karesi diğer iki kenarın kareleri toplamına eşittir.”

Burada “hipotenüs” bir dik üçgen içindir, fakat dikdörtgenin köşegeni de iki dik kenarın oluşturduğu dik üçgende hipotenüs görevi gördüğünden, yine aynı formül devreye girer:

\text{köşegen}^2 = (\text{kısa kenar})^2 + (\text{uzun kenar})^2.

Daireye tam oturan (içine çizilen) dikdörtgenin köşegeni dairenin çapına denk geldiğinden,

(\text{dikdörtgen köşegeni}) = (\text{daire çapı}) = 2r.

Dolayısıyla:

\sqrt{a^2 + b^2} = 2r.

Verileri yerleştirdiğinizde zaten sonuca kolayca ulaşırsınız.

6. Çemberde Dikdörtgen Yerleştirme Türleri ve Olası Varyasyonlar

a) Dik Yerleştirme: Kısa kenar dikey, uzun kenar yatay.
b) Yatay Yerleştirme: Kısa kenar yatay, uzun kenar dikey.
c) Eğik Yerleştirme: Dikdörtgenin köşeleri yine çembere değebilir ancak kenarlar hiçbir eksene paralel olmayabilir. Yine de, merkeze dayalı simetrik bir yerleştirmede köşeler çemberde olacağından köşegen dairenin çapına eşit olmaya devam eder.

Her durumda, eğer çemberin yarıçapı 6 cm belirtilmişse ve dikdörtgenin kısa kenarı (a) biliniyorsa, uzun kenarı (b) bulmak için aynı prensibe başvurulur.

7. Uygulamalı Örnekler ve Ek Açıklamalar

Örnek 1

Yarıçap = 5 cm, kısa kenar = 6 cm olsun.
Diagonal = 2 × 5 = 10 cm.
Bu durumda,
6^2 + b^2 = 10^2 \implies 36 + b^2 = 100 \implies b^2=64 \implies b=8 \text{ cm.}

Örnek 2

Yarıçap = 6 cm, kısa kenar = 12 cm olamaz mı?
Bu durumda diagonal = 12 cm olmak zorunda. Ama kısa kenar 12 cm ise, uzun kenarın pozitif bir değeri kalmaz (12’den daha büyük bir kenar da olamaz; kısaca 12 cm kısa kenar vs. 12 cm diagonal çelişki yaratır). Dolayısıyla bu tip sorularda kısa kenar, çap uzunluğundan mutlaka küçük olmak zorundadır.

Örnek 3

Yarısı kapalı bir doğru. Burada çemberin sadece bir kısmında dikdörtgen şekli çiziliyor olsa bile, köşeler yine çemberin çevresine dokunduğundan aynı mantık geçerli olur.

Bu örneklerin tümü, bu tip soruların çözümlerinde nasıl bir yaklaşım benimseneceğini göstermesi açısından önemlidir.

8. Sık Karşılaşılan Sorular (SSS)

Dikdörtgenin köşegeni daima çemberin çapına mı eşittir?
- Eğer soruda “dikdörtgenin tamamı çemberin içinde ve köşeler çemberin çevresinde” ibaresi varsa evet. Başka bir yerleştirme şekli (köşeler tam değmiyorsa) bu koşulu sağlamaz.
Dikdörtgen aslında kare olabilir mi?
- Evet, eğer kısa kenar = uzun kenar ise, bu soruda 4 cm = 4 cm durumu. Ama bu, diagonalin 4√2 cm olmasını gerektirir. 4√2 ≈ 5,66 cm’dir. 12 cm’e eşit değildir. Bu nedenle spesifik olarak 4 cm kenar uzunluğu çember çapı 12 cm’lik bir daire içinde kare oluşturmaz.
Sonucu virgüllü mü vermeliyim yoksa köklü mü?
- Matematiksel problemlerde genellikle köklü biçim tercih edilir: (8 \sqrt{2}). Yaklaşık 11,31 cm olarak da ifade edilebilir.
Çözümü nasıl genelleyebilirim?
- Kısa kenarı (k), yarıçapı (r) olan bir çemberde uzun kenar (U) olsun. Formül:
  k^2 + U^2 = (2r)^2.
  Buradan (U = \sqrt{4r^2 - k^2}.)

9. Tablo: Adım Adım Hesaplama Özeti

Aşağıdaki tabloda, “kısa kenar 4 cm, yarıçap 6 cm” durumundan, “uzun kenar”ın nasıl elde edildiğini adım adım özetliyoruz:

Adım	İşlem	Matematiksel Gösterim	Sonuç
1. Yarıçap ve çap belirlenir	r = 6 cm; çap d = 2r	r = 6 cm, d = 12 cm	–
2. Kısa kenar değeri alınır	a = 4 cm	a = 4 cm	–
3. Dikdörtgenin köşegeni - çember çapı	Köşegen (Diagonal) = 12 cm	Diagonal = d = 12 cm	–
4. Pisagor Teoremi uygulanır	`a^2 + b^2 = (Diagonal)^2`	(4^2 + b^2 = 12^2)	(16 + b^2 = 144)
5. b^2’in hesaplanması	(b^2 = 144 - 16)	(b^2 = 128)	–
6. b’nin hesaplanması	(b = \sqrt{128})	(b = 8 \sqrt{2})	Yaklaşık 11,31 cm
7. Sonuç	Dikdörtgenin uzun kenarı (b = 8 \sqrt{2}) cm	Yaklaşık 11,31 cm	Cevap

Yukarıdaki tablodan da anlaşılacağı gibi, tüm işlem basitçe Pisagor bağıntısına dayanmaktadır.

10. Geniş Kapsamlı Bir Değerlendirme: Neden Bu Formül Geçerli?

Daha derine inmek gerekirse:

Bir dikdörtgen, iki eşit ve paralel kısa kenar ile iki eşit ve paralel uzun kenardan oluşur.
Çembere tam sığabilmesi için, dikdörtgenin merkez noktasının çemberin merkezine denk gelmesi ve dört köşesinin çember üzerinde olması gerekir.
Çember üzerindeki herhangi bir nokta, merkezden 6 cm uzaklıktadır. Bu, köşegenin tam da çapa eşit olduğunun geometrik temelini oluşturur. Çünkü dikdörtgenin karşıt köşeleri arasındaki uzaklık, diğer adıyla köşegen, tam olarak çemberin çapı kadardır.

Matematiğin en temel ve güzel ilkelerinden biri olan Pisagor Teoremi, burada adeta kilit bir rol oynar. Herhangi bir dik üçgende, kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi net ve değişmez kurallarla ortaya koyar. Dikdörtgen köşegeni, köşelerin oluşturduğu dik üçgendeki hipotenüstür.

11. Ek Bilgiler: Daire ve Çokgen İlişkisi

Bir dörtgenin bütün köşeleri daire üzerinde ise bu dörtgen “çevrel bir dörtgen” olarak adlandırılır. Fakat her çevrel dörtgen dikdörtgen olmak zorunda değildir.
Dikdörtgenin özel bir durumu da kare olabilir (kısa ve uzun kenarın eşit olması). Ancak bu specific soruda 4 cm ve 8√2 cm şeklinde iki farklı kenar çıkıyor. Dolayısıyla “kare” oluşmuyor, tam anlamıyla bir dikdörtgen oluşuyor.
Çember içerisine en büyük alanlı dikdörtgen aslında karedir; ancak bunun kenarları çember çapına eşit diagonale sahip olur. Örneğin yarıçap 6 cm olan bir daireye çizilecek en büyük alanlı dikdörtgen, kenarları 6√2 cm olan karedir (zira bu karenin diagonali 12 cm olur). Ama sorumuzda kısa kenar 4 cm olduğu için, en büyük alanlı durumla ilgilenmiyoruz; sadece verilen koşullara göre çözüm üretiyoruz.

12. Sonuç ve Kısa Özet

Büyük resme baktığımızda, bu tip sorular aynı temel ilkede birleşir: Daire içine tam oturmuş dikdörtgen → köşegen = daire çapı. Kısa kenar (a) ve uzun kenar (b) ise,