Hejgyj

LİSE
1

17421118768605024629749372791284
17421118768605024629749372791284720×956 33.8 KB

2

Soru:
“Merkezlerinden geçen eksen etrafında serbestçe dönebilen dişlilere aynı maddeden yapılmış eşit kalınlıkta, türdeş K ve L çubukları perçinlenmiştir. Düzeneğin düşey düzlemde şekildeki gibi dengede olduğuna göre, çubukların boyları oranı xₖ / xₗ kaçtır?”

Cevap:

Aşağıda, problemdeki denge durumuna ilişkin ayrıntılı bir çözüm, temel fizik prensipleri ile adım adım sunulmuştur. Amaç, birbirine dişlilerle bağlı K ve L çubuklarının uzunluklarının oranını (xₖ / xₗ) bulmaktır.

1. Problemin Anlaşılması

Bu problemde iki dairesel dişli bulunmaktadır:

  • Büyük dişli yarıçapı: 4r
  • Küçük dişli yarıçapı: r

Bu dişliler, merkezlerinden geçen eksenler etrafında serbestçe dönebilecek şekildedir ve dişliler arasındaki temas sayesinde birinde oluşan tork (dönme etkisi) diğerine iletilir. Büyük dişliye şekilde görüldüğü gibi L çubuğu, küçük dişliye ise K çubuğu dikey olarak tutturulmuştur.

Çubuklar aynı maddeden ve eşit kalınlıkta (dolayısıyla birim uzunluk başına kütleleri aynıdır) üretildiği için, çubukların kütlesi boylarıyla doğru orantılıdır. Problemdeki ana hedef, düşey düzlemde dengede (net tork sıfır durumda) bulunduğuna göre, xₖ / xₗ oranını bulmaktır.

2. Temel Fiziksel İlkeler

Bu sorudan yararlanacağımız temel ilkeler:

  1. Ağırlık ve Kütle İlişkisi:

    • Kütle (m) ve ağırlık (W) arasındaki ilişki: W = m·g.
    • Çubukların kütlesi aynı yoğunluk (ρ) ve kesit alanına (A) sahip olduklarından, m ∝ (uzunluk).
    • Örneğin K çubuğu için mₖ = λ·xₖ, L çubuğu için mₗ = λ·xₗ (λ sabittir).

  2. Çubukların Ağırlık Merkezleri:

    • İki çubuk da homojen ve doğrusal olduğu için, ağırlık merkezi çubuğun orta noktasındadır.
    • Dolayısıyla K çubuğunun ağırlık merkezi, çubuğun bağlı olduğu dişlinin merkezinden xₖ/2 uzaklıktadır.
    • Aynı şekilde L çubuğunun ağırlık merkezi, büyük dişlinin merkezinden xₗ/2 uzaklıktadır.

  3. Tork (Moment) Hesabı:

    • Tork = Kuvvet × Kuvvet kolu
    • Ağırlık kuvveti çubukların kütle merkezinde etki eder ve kol uzunluğu da çubuğun merkezden uzaklığıdır.
    • Küçük dişlinin merkezine göre K çubuğunun torku → Tₖ = (mₖ·g) × (xₖ/2).
    • Büyük dişlinin merkezine göre L çubuğunun torku → Tₗ = (mₗ·g) × (xₗ/2).

  4. Dişli Oranı ve Tork İletimi:

    • Dişliler arasındaki diş sayısı veya yarıçap oranı, tork aktarım oranını belirler.
    • Temas noktalarındaki tangensiyel kuvvet her iki dişlide aynıdır. Ancak tork, dişlinin yarıçapı ile bu kuvvetin çarpımından elde edilir.
    • Yarıçapı 4r olan büyük dişlide oluşan tork ile yarıçapı r olan küçük dişlide oluşan tork arasındaki ilişki:
      Tbüyük / Tküçük = (Kuvvet × 4r) / (Kuvvet × r) = 4

Bu bilgi, büyük dişlideki torkun, küçük dişlidekine göre 4 kat daha büyük olduğunu gösterir (aynı temas kuvveti söz konusudur).

3. Denge Koşulları

Sistem dengede olduğunda, her dişlinin net torku sıfır olmalıdır:

  • Büyük Dişli (L çubuğu bağlı):
    Toplam tork = L çubuğunun oluşturduğu tork − dişliler arası temas noktası kuvvetinden kaynaklanan tork = 0

  • Küçük Dişli (K çubuğu bağlı):
    Toplam tork = K çubuğunun oluşturduğu tork − dişliler arası temas noktası kuvvetinin bu dişliye uyguladığı tork = 0

Ancak birbiriyle etkileşimde olan iki dişlinin torkları arasında şu ilişki geçerlidir:
TL = 4 × TK
(Büyük dişlideki tork değeri, küçük dişlidekinden 4 kat fazladır.)

Çünkü yarıçapı büyük olan dişlinin tork kolu daha büyüktür ve temas kuvveti aynı olduğundan torku 4 kat fazla olur. Öte yandan, L çubuğunun dişlinin merkezinde oluşturduğu tork TL ve K çubuğunun oluşturduğu tork TK arasında da bu oransal ilişkiyi sağlamak gerekir.

4. Torkların Hesaplanması

Her iki çubuğun kütlesi, çubuk boyu ile doğru orantılı olduğu için,

  • K çubuğu kütlesi: mₖ = λ·xₖ
  • L çubuğu kütlesi: mₗ = λ·xₗ

Burada λ sabit olup (malzeme yoğunluğu ve kesit alanı çarpımı), her iki çubuk için aynıdır.

4.1. K Çubuğunun Torku

K çubuğunun ağırlık kuvveti mₖg = (λ·xₖ)g, etki noktası xₖ/2 uzunluğundadır. Dolayısıyla küçük dişlinin merkezi etrafında:

T_{K} \;=\; (\lambda\,x_{K}\,g) \times \left(\frac{x_{K}}{2}\right) \;=\; \frac{1}{2}\,\lambda\,g\,x_{K}^{2}.

4.2. L Çubuğunun Torku

L çubuğu için de benzer şekilde:

T_{L} \;=\; (\lambda\,x_{L}\,g) \times \left(\frac{x_{L}}{2}\right) \;=\; \frac{1}{2}\,\lambda\,g\,x_{L}^{2}.

5. Dişliler Arasındaki Tork Oranı

Dişliler dahilinde denge sağlamak için, büyük dişlinin torku ile küçük dişlinin torku arasındaki oranın, dişli yarıçaplarının oranına uygun olması gerekir. Yarıçaplar 4r ve r olduğundan, büyük dişlideki tork, küçük dişlidekinden 4 kat fazladır:

T_{L} = 4 \, T_{K}.

Önceki ifadelerimiz ile bu koşulu birleştirirsek:

\frac{1}{2}\,\lambda\,g\,x_{L}^{2} \;=\; 4 \times \left(\frac{1}{2}\,\lambda\,g\,x_{K}^{2}\right).

Buradaki \tfrac{1}{2}\,\lambda\,g terimleri her iki tarafta da yer aldığı için sadeleşir:

x_{L}^{2} = 4\,x_{K}^{2}.

Bunu karekök alarak çözersek:

x_{L} = 2\,x_{K}.

Yani:

\frac{x_{K}}{x_{L}} = \frac{1}{2}.

Bu sonuca göre, K çubuğunun boyu, L çubuğunun boyunun yarısı kadardır.

6. Sonuç

Yukarıdaki analiz, sistemin düşey düzlemde dengede olması için K ve L çubuklarının uzunluklarında şöyle bir orana ihtiyaç olduğunu göstermektedir:

xₖ / xₗ = 1/2.

Yani K çubuğu, L çubuğunun yarısı boyunda olmalıdır.

7. Özet Tablo

Aşağıdaki tabloda problemdeki önemli değişkenler ve elde edilen sonuçlar özetlenmiştir:

Değişken Tanım Değer/Oran
r Küçük dişlinin yarıçapı r
4r Büyük dişlinin yarıçapı 4r
xₖ Küçük dişliye bağlı çubuğun boyu xₖ
xₗ Büyük dişliye bağlı çubuğun boyu xₗ
TK K çubuğunun oluşturduğu tork (1/2)λg xₖ²
TL L çubuğunun oluşturduğu tork (1/2)λg xₗ²
TL/TK Büyük ve küçük dişli arasındaki tork oranı 4
xₖ / xₗ İstenen çubuk boyları oranı 1/2

Tablodan da görüleceği gibi, K çubuğunun uzunluğu L çubuğunun uzunluğunun yarısı olduğunda, büyük ve küçük dişli birbirine dişli teması ile bağlanmış bu sistem dengede kalır.

8. Önemli Noktalar ve Ek Açıklamalar

  • Çubukların aynı malzemeden ve eşit kalınlıkta olması, kütlelerinin boy uzadıkça sabit oranda artmasına sebep olur. Bu da her bir çubuk için kütle = (sabit)×(uzunluk) olarak yazılmasına imkân tanır.
  • Ağırlık merkezleri her zaman, düzgün bir çubuğun orta noktasında konumlandığı için, tork hesabında moment kolu x/2 olarak görünür.
  • Dişlilerde temas kuvvetinin yönü her iki dişliye de zıt yönlerde etki eder; fakat büyüklüğü aynıdır. Fakat her dişlinin yarıçapı farklıdır ve tork “kuvvet × yarıçap” ile belirlendiğinden, büyük dişlideki tork aynı kuvvetin daha büyük yarıçapla çarpılması nedeniyle daha fazladır.
  • Deneysel ya da görsel olarak da, büyük dişli üzerine takılmış çubuğun daha uzun olmasıyla torkun arttığı ve küçük dişlinin daha kısa bir çubukla dengede kaldığı gözlenebilir.

xₖ / xₗ = 1/2 şeklindeki sonuç, sorunun istediği “çubukların boyları oranını” kesin olarak tanımlamaktadır. Geleneksel soru formatında genellikle “xₖ / xₗ kaçtır?” şeklinde sorulduğundan, net cevap 1/2 olur.

@Haleeeess