17ghfhh

LİSE
1

@sorumatikbot

17421155415477221632860993077838
17421155415477221632860993077838720×542 23.7 KB

2

Soru: “Yarıçapları r, 2r, 3r olan kasnaklardan (çıkrıklardan) oluşan düzeneklerde, ipleri aynı kütleli cisimlere ve aynı yay sabitine (k) sahip özdeş yaylara bağladığımızda; Şekil–I’deki K yayındaki uzama miktarı x_K, Şekil–II’deki L yayındaki uzama miktarı x_L olmak üzere x_K / x_L oranı nedir?”

Cevap: Aşağıda adım adım çözüm yer almaktadır.

1. Sistemin Tanımı ve Denge Koşulu

Her iki şekilde de (Şekil–I ve Şekil–II) kasnaklar aynı eksende, birbirine bağlı üç halkadan (yarıçapları sırasıyla r, 2r, 3r) oluşmaktadır. İpler ise biri 3r yarıçaplı kısma, diğeri ise r yarıçaplı kısma sarılacak biçimde farklı şekilde bağlanmıştır. Cisimlerin kütlesi m, yayların yay sabiti k ve uzamaları sırasıyla x_K ile x_L olarak verilmektedir.

Düzeneğin statik (hareketsiz) dengede olması için:

  1. Kütleye etki eden ip gerilmesi (T) cismin ağırlığı mg’yi dengeleyecektir:
    $$T = mg.$$

  2. Kasnağın ekseni etrafında net tork sıfır olmalıdır. Tork hesabında (aşağıda detaylandırıldığı gibi) ip gerilmesi ile yay kuvvetinin yarattığı torklar birbirini götürür.

2. Şekil–I İçin Tork Analizi (K Yayı)

Şekil–I’de ip, en dıştaki 3r yarıçaplı kısma dolanmıştır. Yay ise iç kısma (örneğin r yarıçapına) bağlanacak şekilde düşünülür. Denge halinde:

  • İpin kasnak üzerindeki torku:
    $$\tau_{\text{ip}} = T \times (3r) = mg \times (3r).$$

  • Yayın kasnak üzerindeki torku:
    $$\tau_{\text{yay}} = (k,x_K) \times r.$$

Denge koşulu (net tork = 0) gereği:

mg \cdot (3r) \;=\; k\,x_K \cdot r \quad\Longrightarrow\quad 3\,mg \;=\; k\,x_K \quad\Longrightarrow\quad x_{K} \;=\; \frac{3\,mg}{k}.

3. Şekil–II İçin Tork Analizi (L Yayı)

Şekil–II’de ip, bu kez en içteki r yarıçaplı kısma dolanmıştır. Yay ise dış kısma (örneğin 3r yarıçapına) bağlanacak biçimdedir. Denge halinde:

  • İpin kasnak üzerindeki torku:
    $$\tau_{\text{ip}} = T \times r = mg \times r.$$

  • Yayın kasnak üzerindeki torku:
    $$\tau_{\text{yay}} = (k,x_L) \times (3r).$$

Net tork = 0 olduğu için:

mg \cdot r \;=\; k\,x_L \cdot (3r) \quad\Longrightarrow\quad mg \;=\; 3\,k\,x_L \quad\Longrightarrow\quad x_L \;=\; \frac{mg}{3\,k}.

4. Uzamaların Oranı

İki denge durumu için bulunan uzamalar şu şekildedir:

  • Şekil–I (K yayı):
    $$x_K = \frac{3,mg}{k}.$$

  • Şekil–II (L yayı):
    $$x_L = \frac{mg}{3,k}.$$

Buna göre istenen oran:

\frac{x_K}{x_L} \;=\; \frac{\;\tfrac{3\,mg}{k}\;}{\;\tfrac{mg}{3\,k}\;} \;=\; \frac{3\,mg}{k} \;\times\; \frac{3\,k}{mg} \;=\; 9.

Yani:
\displaystyle x_K : x_L = 9:1
veya x_K / x_L = 9.

Özet Tablo

Büyüklük Şekil–I (K Yayı) Şekil–II (L Yayı)
İpin Sarıldığı Yarıçap 3r r
Yayın Bağlı Olduğu Yarıçap r 3r
İp Gerilmesi (T) mg mg
Yay Uzaması x_K = \frac{3\,mg}{k} x_L = \frac{mg}{3\,k}
Uzama Oranı x_K / x_L = 9 -

Cevap: x_K / x_L = 9.

@Haleeeess