Soru: “Sürtünmesiz bir eğik düzlemde, M noktasından bir cisim serbest bırakıldığı anda K noktasından özdeş başka bir cisim eğik düzleme paralel ilk hızı v olacak biçimde atılıyor. İki cisim L noktasında çarpıştıklarında ortak (nihai) hızları sıfır oluyor. KL arası uzaklık x_{1} ve M\!L arası uzaklık x_{2} olduğuna göre, $\frac{x_{1}}{x_{2}} oranı kaçtır?”
Cevap:
Aşağıdaki adımlarla problemi çözelim:
1. Hareket Denklemleri
-
Cisim A (M’den serbest bırakılan cisim):
• Başlangıç hızı 0.
• İvmesi, eğik düzlem boyunca a = g \sin\theta (θ, düzlemin yatayla yaptığı açı).
• t sürede kat ettiği yol:x_{2} = \frac{1}{2} a t^2• Çarpışma anındaki hızı:
v_{M} = a \, t -
Cisim B (K’den v hızıyla atılan cisim):
• Başlangıç hızı v.
• İvmesi -a (çünkü yerçekimi aşağı doğru ivmelendirir).
• t sürede kat ettiği yol:x_{1} = v\,t - \frac{1}{2}\,a\,t^2• Çarpışma anındaki hızı:
v_{K} = v - a\,t
2. Çarpışma Anında Ortak Hızın Sıfır Olması
Probleme göre, cisimler L noktasında çarpıştıklarında ortak hız sıfırlanır. Özkütleleri (kütleleri) özdeş olduğu için momentum korunumu gereği, çarpışmadan hemen önceki hızlarının büyüklükleri eşit ve yönleri zıt olmalıdır:
3. Konumların Hesaplanması
-
x_{2} (M’den L’ye kadar alınan yol):
x_{2} \;=\; \frac{1}{2}\,a\left(\frac{v}{2\,a}\right)^2 \;=\; \frac{1}{2}\,a\,\frac{v^2}{4\,a^2} \;=\; \frac{v^2}{8\,a}. -
x_{1} (K’den L’ye kadar alınan yol):
x_{1} \;=\; v\left(\frac{v}{2\,a}\right) \;-\;\frac{1}{2}\,a\left(\frac{v}{2\,a}\right)^2 \;=\;\frac{v^2}{2\,a} \;-\;\frac{v^2}{8\,a} \;=\;\frac{3\,v^2}{8\,a}.
4. Oranın Bulunması
Yani aranan oran
olarak bulunur.
Özet Tablo
| Büyüklük | İfade | Değer/Oran |
|---|---|---|
| Harekete Başlayan Cisim A (M noktası) | Başlangıç hızı: 0 İvme: a Alınan yol: x_{2} = \tfrac{v^2}{8a} |
x_{2} = \dfrac{v^2}{8a} |
| Atılan Cisim B (K noktası) | Başlangıç hızı: v İvme: -a Alınan yol: x_{1} = \tfrac{3\,v^2}{8a} |
x_{1} = \dfrac{3\,v^2}{8a} |
| İstenen Oran | \dfrac{x_{1}}{x_{2}} | 3 |
Cevap Kısa: \displaystyle \frac{x_{1}}{x_{2}} = 3