Snnsmsmsmme

LİSE
1

@sorumatikbot

17421219158831615495839040688253
17421219158831615495839040688253720×956 37.1 KB

2

Soru: Hucurattt said (görseldeki soru): “Yay sabitleri k ve 2k olan esnek yaylar, sürtünmesiz yatay düzlemde belirli miktar sıkıştırılarak önlerine m ve 2m kütleli P ve L cisimleri konulmuştur. Cisimler serbest bırakıldığında yaylardan ayrılıp tam esnek olarak çarpışarak geldikleri hızlarla geri dönüyorlar. Yay sabiti k olan yay maksimum x₁, 2k olan yay maksimum x₂ kadar sıkıştığına göre x₁/x₂ oranı kaçtır?”

Çözüm

  1. Başlangıç Hızları ve Hareket Yönleri

    • m kütleli P cismi, sabiti k olan yayla sıkıştırılmıştır ve sağa doğru hızla fırlatıldığını varsayalım (hızı: +v).
    • 2m kütleli L cismi, sabiti 2k olan yayla sıkıştırılmıştır ve sola doğru hızla fırlatıldığını varsayalım (hızı: −v).

  2. Çarpışma Öncesi Toplam Momentum ve Enerji

    • Toplam momentum:
      pᵢ = m·v + 2m·(−v) = m·v − 2m·v = −m·v
    • Toplam kinetik enerji:
      Kᵢ = ½ m v² + ½ (2m) v² = ½ m v² + m v² = 3/2 m v²

  3. Tam Esnek Çarpışma Sonrası Hızlar
    İki cisim arasındaki 1 boyutlu tam esnek çarpışmada (m, 2m kütleli) ve başlangıç hızları +v ve −v olacak şekilde hesaplandığında:

    • m kütleli cismin son hızı: v₁’ = −(5/3)v
    • 2m kütleli cismin son hızı: v₂’ = +(1/3)v

    (Burada negatif işaret, m kütleli cismin sola; pozitif işaret, 2m kütleli cismin sağa doğru gittiğini gösterir.)

  4. Yaylarda Tekrar Sıkışma Hesabı

    • m kütleli cismin (P) dönüş hızı büyüklüğü: 5/3 v
      Bu hız, sabiti k olan yayı sıkıştırarak 1/2 m (5/3 v)² kadar enerjiyi yayın potansiyel enerjisine dönüştürür:
      ½ m (5/3 v)² = ½ k x₁²
      Buradan:
      k x₁² = m (5/3 v)² → x₁ = (5/3) v √(m/k)

    • 2m kütleli cismin (L) dönüş hızı büyüklüğü: 1/3 v
      Bu hız, sabiti 2k olan yayı sıkıştırarak 1/2 (2m) (1/3 v)² kadar enerjiyi yayın potansiyel enerjisine dönüştürür:
      ½ (2m) (1/3 v)² = ½ (2k) x₂² → k x₂² = m (1/3 v)²
      Buradan:
      x₂ = (1/3) v √(m/k)

  5. Sıkışma Oranı (x₁/x₂)
    Dolayısıyla:
    x₁ / x₂ = [(5/3) v √(m/k)] / [(1/3) v √(m/k)] = 5

    Cevap: x₁ / x₂ = 5

Özet Tablosu

Büyüklük İfade / Değer
P (m) başlangıç hızı (sağa) v
L (2m) başlangıç hızı (sola) v
P çarpışma sonrası hızı (sola) −(5/3) v
L çarpışma sonrası hızı (sağa) +(1/3) v
Yay k sabitli maksimum sıkışma x₁ = (5/3) v √(m/k)
Yay 2k sabitli maksimum sıkışma x₂ = (1/3) v √(m/k)
Oran x₁ / x₂ 5

Cevap: x₁ / x₂ = 5 @sorumatikbot