Soru: Başlangıçta durmakta olan 3m kütleli cisim iç patlama sonucu iki parçaya ayrılıyor. m ve 2m kütleli bu parçalar, yay sabitleri k₁ ve k₂ olan esnek yaylara çarparak onları eşit miktarda sıkıştırdığına göre, k₁/k₂ oranı kaçtır? (Sürtünmeler önemsenmeyecektir.)
Cevap:
Bu problemde, önce momentumun korunumu ve ardından enerjinin korunumu ilkelerini kullanarak yayların sıkışma miktarını ve yay sabitleri arasındaki oranı bulmaya çalışacağız. Aşağıdaki adımları takip ederek sorunun çözümünü inceleyelim.
1. Problemdeki Olayın Tanımı
• Başlangıç kütlesi: 3m
• Parçalara ayrılma sonrası kütleler: m ve 2m
• Patlama sonunda hareket eden iki kütle şu yaylara doğru hareket eder:
– kütlesi m olan parça, yay sabiti k₁ olan yaya doğru ilerler.
– kütlesi 2m olan parça, yay sabiti k₂ olan yaya doğru ilerler.
• Yaylar aynı miktarda (x kadar) sıkışmaktadır.
• Sürtünmeler yok sayıldığından, enerji ve momentum korunumu rahatlıkla uygulanabilir.
Bu koşullar altında, k₁/k₂ oranını bulmamız isteniyor.
2. Momentumun Korunumu
İç patlama sonrasında sistemin dışarıya net kuvvet uygulanmadığı varsayılırsa, toplam momentum korunur. Başlangıçta 3m kütleli cisim durgun hâlde olduğu için toplam momentum sıfırdır. Patlama sonrası:
- m kütleli parça hızı v_1 olsun.
- 2m kütleli parça hızı v_2 olsun.
Momentum korunumu denklemi şu şekildedir:
İşaretsel olarak bir parça sola, diğeri sağa gittiğinde, biri pozitif, diğeri negatif hız alacaktır. Yaygın tercih, m kütleli cismin sola (negatif yön) gittiğini, 2m kütleli cismin sağa (pozitif yön) gittiğini varsaymaktır. Bu durumda,
Burada kolaylık sunmak adına,
- |v_1| = 2V
- |v_2| = V
olarak bulunur. Yani m kütleli parça 2V büyüklüğünde hızla sola giderken, 2m kütleli parça V büyüklüğünde hızla sağa gider. Momentum korunumu bu şekilde sağlanmış olur.
3. Enerjinin Korunumu ve Yay Sıkışmaları
Sürtünmelerin yok sayılması durumunda, her bir parçanın patlama sonrasındaki kinetik enerjisi tamamen yaya aktarılır ve yay potansiyel enerjisine dönüşür.
3.1 m Kütleli Cismin Enerji Dönüşümü
-
m kütleli cismin hızı, büyüklük olarak 2V’dir.
-
Kinetik enerjisi:
E_{k,m} = \frac{1}{2} \, m \, (2V)^2 = \frac{1}{2} \, m \, 4V^2 = 2\,m\,V^2 -
Bu kütle, k₁ sabitli yaya çarpıp x kadar sıkıştırdığında yayda depolanan potansiyel enerji:
E_{\text{yay},1} = \frac{1}{2} \, k_1 \, x^2
Enerji korunumu, kütlenin başlangıçtaki kinetik enerjisinin yayı sıkıştırarak yay potansiyel enerjisine dönüşmesiyle ifadesini bulur:
3.2 2m Kütleli Cismin Enerji Dönüşümü
-
2m kütleli cismin hızı V’dir.
-
Kinetik enerjisi:
E_{k,2m} = \frac{1}{2} \, (2m) \, V^2 = m \, V^2 -
Bu kütle, k₂ sabitli yaya çarpıp x kadar sıkıştırdığında yayda depolanan potansiyel enerji:
E_{\text{yay},2} = \frac{1}{2} \, k_2 \, x^2
Yine enerji korunumu, bu cismin bütün kinetik enerjisinin yaya aktarılması şeklinde ifade edilir:
4. Yay Sabitleri Oranı: k₁/k₂
Her iki yay da eşit miktarda (x kadar) sıkıştığına göre, yukarıdaki sonuçları karşılaştıralım:
-
m kütleli cisim için:
k_1 x^2 = 4 m V^2. -
2m kütleli cisim için:
k_2 x^2 = 2 m V^2.
Bunları oranladığımızda,
Dolayısıyla, k₁/k₂ = 2 bulunur.
5. Önemli Değişkenlerin ve Formüllerin Tablosu
Aşağıdaki tabloda problemin başlıca değişkenleri ve ilgili formüller özetlenmiştir:
| Değişken / Formül | Açıklama |
|---|---|
| m, 2m | Cisimlerin kütleleri |
| 3m | Başlangıçtaki toplam kütle |
| v₁, v₂ | Parçaların hızları |
| k₁, k₂ | Yay sabitleri |
| x | Yayların sıkışma miktarı (her iki yayda aynı) |
| Momentum Korunumu | 0 = m\,v_1 + 2m\,v_2 |
| Kinetik Enerji (m parçası) | E_{k,m} = \tfrac12\,m\,(2V)^2 = 2\,m\,V^2 |
| Kinetik Enerji (2m parçası) | E_{k,2m} = \tfrac12\,(2m)\,V^2 = m\,V^2 |
| Yay Enerjisi (k₁ sabiti) | E_{\text{yay},1} = \tfrac12\,k_1\,x^2 |
| Yay Enerjisi (k₂ sabiti) | E_{\text{yay},2} = \tfrac12\,k_2\,x^2 |
| Enerji Korunumu (m parçası) | 2mV^2 = \tfrac12\,k_1\,x^2 |
| Enerji Korunumu (2m parçası) | mV^2 = \tfrac12\,k_2\,x^2 |
| k₁/k₂ | = 2 |
6. Sonuç ve Değerlendirme
Bu problemde en kritik nokta, hem momentum hem de enerji korunumu ilkesini doğru şekilde uygulayabilmektedir:
- Momentum korunumu, parçaların hızlarının oranını belirlemek için kullanılır.
- Enerji korunumu, elde edilen hızlar sayesinde yayların ne kadar sıkışması gerektiğini ve dolayısıyla yay sabitleri arasındaki ilişkiyi belirler.
Yayların eşit miktarda sıkışması (x) şartı, her bir kütlenin kinetik enerjisinin ilgili yayın potansiyel enerjisine dönüşmesiyle sağlanır. Yukarıdaki denklemleri çözerek k₁/k₂ = 2 sonucuna ulaşırız.
Bu tip sorularda daima şu kontrol adımları önemlidir:
- Patlama, sisteme dış kuvvet uygulamadığından, toplam momentum sıfır olarak kalır.
- Her bir parçanın kazandığı kinetik enerji, yay potansiyel enerjisinin aynısı olmak zorundadır.
- Verilen “eşit sıkışma” bilgisi, farklı kütlelerin farklı hızla hareket edeceğini, dolayısıyla yayı farklı miktarda enerjilendireceğini, ancak aynı x’i sağlayacak şekilde k₁ ve k₂ çıktılarını mecburen orantılayacağını gösterir.
Böylece, deneysel veya teorik olarak doğrulanabilecek bir sonuç elde edilir: k₁/k₂ = 2.
Teşekkürler! @Haleeeess