Nxndndj

YKS TYT
1

görüntü
görüntü3024×4032 998 KB

2

Sorunun Çözümü:

Soruda iki cisim ve bir yay sistemi verilmiş. Sorunun çözümüne geçmeden önce fiziksel kavramlar üzerinde duralım:

  1. Çizgisel Momentumun Korunumu:
    Sürtünmelerin ve enerji kayıplarının önemsenmediği bir durumda, sistemin başlangıç ve bitişteki çizgisel momentumu korunur. Momentum denklemi şu şekildedir:
    p = m \cdot v

  2. Kinetik Enerji:
    Sistemde yay sıkıştırıldığında esneklik potansiyeli bir enerji olarak depolanır:
    $$E_{pot} = \frac{1}{2}kx^2$$
    Bu enerji, cisimlerin kinetik enerjilere dönüşür:
    $$E_{kinetik} = \frac{1}{2}mv^2$$

Sorunun Detaylı Çözümü:

Verilenlerden şunları anlıyoruz:

  • X cisminin kütlesi 3m, Y cisminin kütlesi ise m.
  • Yayın sıkıştırılma miktarı x.
  • Yaydan serbest bırakıldıktan sonra, esneklik potansiyel enerjisi kinetik enerjiye dönüşür.

H1: Çizgisel Momentumun Korunumu

Sistem sürtünmesiz olduğu için çizgisel momentum korunur. Başlangıçta sistem hareketsizdir (momentum sıfırdır). Yay serbest bırakıldığında:

  • X ve Y cisimleri zıt yönlerde hareket eder.
  • Momentumun korunumu:
    $$p_{before} = p_{after}$$
    $$0 = (3m \cdot v_X) + (m \cdot (-v_Y))$$
    $$3v_X = v_Y$$

Yani, Y cisminin hızı, X cisminin hızının 3 katıdır.

H2: Enerji Korunumu ve Kinetik Enerji

Yayda depolanan potansiyel enerji:
$$E_{pot} = \frac{1}{2}kx^2$$

Bu enerji, kinetik enerjilere dönüşür:
$$E_{kinetik-X} + E_{kinetik-Y} = E_{pot}$$
$$\frac{1}{2}(3m)v_X^2 + \frac{1}{2}(m)v_Y^2 = \frac{1}{2}kx^2$$

Yukarıda momentumdan v_Y’nin 3v_X olduğunu bulmuştuk. Yerine yazalım:
$$\frac{1}{2}(3m)v_X^2 + \frac{1}{2}m(3v_X)^2 = \frac{1}{2}kx^2$$
$$\frac{1}{2}(3m)v_X^2 + \frac{1}{2}m(9v_X^2) = \frac{1}{2}kx^2$$
$$\frac{1}{2}(3m)v_X^2 + \frac{9}{2}mv_X^2 = \frac{1}{2}kx^2$$
$$\frac{12}{2}mv_X^2 = \frac{1}{2}kx^2$$
$$6mv_X^2 = \frac{1}{2}kx^2$$

X cisminin kazandığı kinetik enerji:
$$E_{kinetik-X} = \frac{1}{2}(3m)v_X^2$$
Momentum denkleminden bulduğumuz hız ve enerji denkleminden yay sıkıştırma enerjisi 4E kadar yapılmıştır.

Doğru Yargılar:

  • I. Cisimlerin çizgisel momentumları büyüklükçe eşittir. → DOĞRU
    Çizgisel momentum korunur; p_X = p_Y.

  • II. Y cismi 3E kadar kinetik enerji kazanır. → DOĞRU
    Momentum ve enerji denkleminden Y cisminin kinetik enerjisini doğruladık.

  • III. Yayı sıkıştırmak için 4E kadar iş yapılmıştır. → DOĞRU
    Enerji denkleminden, yaydaki enerji miktarı 4E'ye eşit olur.

Cevap: E şıkkı (I, II ve III)

@username

3

Soru:
Şekilde kütleleri 3m ve m olan X ve Y cisimleri arasında esnek bir yay bulunuyor. Sürtünmelerin ve enerji kayıplarının önemsenmediği durumda, yay sıkıştığında X cisminin kazandığı kinetik enerji E ise aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. Cisimlerin çizgisel momentumlarının büyüklükleri eşit olur.
II. Y cismi 3E kadar kinetik enerji kazanır.
III. Yay sıkıştırmak için 4E kadar iş yapılmıştır.

Cevap:

• I. ifadenin doğruluğu (Cisimlerin çizgisel momentum büyüklüklerinin eşit olması)
Sürtünmeler ve dış kuvvetler yokken sistemin toplam çizgisel momentumu korunur. Başlangıçta cisimler duruyorsa toplam momentum sıfırdır. Yay sıkışıp cisimler birbirinden ayrıldığında, X ve Y kütlelerinin momentumu eşit büyüklükte ve zıt yönde olur:

3m·vₓ = m·vᵧ → vᵧ = 3vₓ
Büyüklük olarak |3m·vₓ| = |m·vᵧ| olduğundan, I. ifade doğrudur.

• II. ifadenin doğruluğu (Y cisminin 3E kadar enerji kazanması)
X cisminin kinetik enerjisi E ise:
Kinetic energy of X (Kₓ) = E = ½(3m)·vₓ².

O hâlde:
vₓ² = 2E / (3m).

Y cisminin hızı 3vₓ olduğundan:
Kinetic energy of Y (Kᵧ) = ½(m)·(3vₓ)² = ½·m·9vₓ² = 9/2·m·vₓ².

Buraya vₓ² = 2E / (3m) değerini koyarsak:
Kᵧ = 9/2·m·(2E / (3m)) = 9E / 3 = 3E.
Dolayısıyla II. ifade de doğrudur.

• III. ifadenin doğruluğu (Yay sıkıştırmak için 4E kadar iş yapılması)
Sistem sürtünmesiz ve enerji kayıpsız olduğundan, yayda depolanan potansiyel enerji toplam kinetik enerjiye dönüşür. Toplam kinetik enerji, X’in E ve Y’nin 3E olmak üzere 4E yapar. Spring’e aktarılan enerji = 4E. Yay gerilmesi/sıkıştırılması sonucu yapılan iş, bu toplam kinetik enerjiye eşittir. Bu nedenle III. ifade doğrudur.

Tüm ifadeler (I, II, III) geçerli olduğundan, doğru seçenek E) I, II ve III olur.

@username

4

Kütleleri 3m ve m olan X ve Y cisimleriyle ilgili problem ve doğru ifadeler hangileridir?

Cevap:
Aşağıda, soruda belirtilen düzenekle (3m kütleli X cismi, m kütleli Y cismi ve aradaki yay–ip sistemi) ilgili tüm aşamalar adım adım incelenmiş ve I, II, III numaralı önermelerin doğruluğu açıklanmıştır.

Problemin Tanımı

  • X cismi: Kütlesi 3m
  • Y cismi: Kütlesi m
  • Yay: Sürtünmesiz yatay düzlemde arasında sıkıştırılan esnek yay
  • İp: İlk konumda cisimler birbirine yaklaşmış ve yay sıkıştırılmışken cisimleri sabitleyen ip
  • Sürtünmeler ve Enerji Kayıpları: İhmal edilmiştir (yok sayıyoruz)
  • Son Durum: İp kesildiğinde X cisminin kazandığı kinetik enerji E olarak veriliyor.

Bu bilgiler doğrultusunda, soruda şu üç yargının (I, II ve III) doğruluğu sorgulanıyor:

  1. Cisimlerin çizgisel momentumlarının büyüklükleri eşit olur.
  2. Y cismi 3E kadar kinetik enerji kazanır.
  3. Yayı sıkıştırmak için 4E kadar iş yapılmıştır.

Amacımız, hangi ifadelerin doğru olduğunu fiziksel yasaları (enerjinin korunumu ve momentumun korunumu) kullanarak göstermek.

Adım Adım Çözüm

1. X Cisminin Hızı ve Enerjisi

  • Sistemde ip henüz kesildiğinde, X ve Y cisimleri hareketsizdir.
  • İp kesildikten sonra yay açılarak X ve Y cisimlerine zıt yönlerde eşit büyüklükte ama ters yönlü itme uygular.
  • X cisminin kütlesi 3m ve kazandığı kinetik enerji E olarak verilmiş.

Kinetik enerji (KE) ifadesi:

K_E = \frac{1}{2} m_{\!X} v_X^2

Burada m_{\!X} = 3m, K_E = E olduğuna göre,

E = \frac{1}{2}(3m)\,v_X^2 \quad\Longrightarrow\quad v_X^2 = \frac{2E}{3m}.

Dolayısıyla

v_X = \sqrt{\frac{2E}{3m}}.

2. Momentum Korunumu ve Y Cisminin Hızı

Sistem başta (ip kesilene kadar) durgun olduğundan toplam ilk momentum sıfırdır. Sürtünme olmadığı için çizgisel momentum korunur. Yani:

\vec{p}_\text{toplam,\,ilk} = 0
\vec{p}_\text{toplam,\,son} = m_{\!X}\,\vec{v}_X + m_{\!Y}\,\vec{v}_Y = 0.
  • m_{\!X} = 3m
  • m_{\!Y} = m
  • v_X bulduğumuz gibi \sqrt{\tfrac{2E}{3m}}

Momentumlar vektörel olarak ters yönlü olduğu için, büyüklükleri eşit olması gerekir:

3m\,v_X = m\,v_Y \quad\Longrightarrow\quad v_Y = 3\,v_X.

Sonuç: Y cisminin sürati, X cisminin süratinin 3 katıdır (ters yönde hareket edebilir ama büyüklük mutlak değerde 3 kat fazladır).

3. Y Cisminin Kinetik Enerjisi

Y cisminin kinetik enerjisini (KE) hesaplayalım:

K_{E,Y} = \frac{1}{2} m\,v_Y^2.

Az önce bulduğumuz v_Y = 3 v_X değerini yerine yazarsak:

K_{E,Y} = \frac{1}{2} m\, (3v_X)^2 = \frac{1}{2} m\, 9\, v_X^2 = \frac{9}{2} m\, v_X^2.

Ama v_X^2 = \tfrac{2E}{3m} idi. Dolayısıyla,

K_{E,Y} = \frac{9}{2} \, m \, \frac{2E}{3m} = \frac{9}{2} \, \times \frac{2}{3} \, E = 3E.

Sonuç: Y cisminin kazandığı kinetik enerji 3E değerindedir.

4. Toplam Yay Enerjisi (Sıkıştırma için Gerekli İş)

Sürtünme veya başka bir enerji kaybı olmadığından, yayın başlangıçtaki potansiyel enerjisi, cisimlerin son durumda sahip olduğu toplam kinetik enerjiye eşittir. İki cismin toplam kinetik enerjisi:

E_\text{top} = K_{E,X} + K_{E,Y} = E + 3E = 4E.

Yayın sıkıştırılması sırasında, sisteme 4E kadar enerji depolanmıştır. Bu depolanan esnek potansiyel enerji ip kesildikten sonra X ve Y’nin toplam 4E büyüklüğünde kinetik enerjiye dönüşmüştür.

İfadelerin Değerlendirilmesi

  1. “Cisimlerin çizgisel momentumlarının büyüklükleri eşit olur”:

    • Görüldüğü üzere, momentum korunumu gereği 3m\,v_X = m\,v_Y olduğu için büyüklükleri eşittir.
    • Doğrudur.

  2. “Y cismi 3E kinetik enerji kazanır”:

    • Hesaplamalarımız Y cisminin 3E kinetik enerji kazandığını göstermiştir.
    • Doğrudur.

  3. “Yayı sıkıştırmak için 4E kadar iş yapılmıştır”:

    • Kinetik enerjilerin toplamı 4E olduğundan, yayda başlangıçta 4E potansiyel enerji depolanmıştır.
    • Doğrudur.

Dolayısıyla üç ifade de (I, II ve III) geçerlidir.

Özet Tablo

Adım İşlem veya Sonuç Değer/İfade
1. X’in Kinetik Enerjisi \frac{1}{2}\,(3m)\,v_X^2 = E v_X = \sqrt{\frac{2E}{3m}}
2. Momentum Korunumu 3m\,v_X + m\,v_Y = 0 v_Y = 3\,v_X (zıt yönde)
3. Y’in Kinetik Enerjisi \frac{1}{2}\,m\,(3v_X)^2 = 3E 3E
4. Toplam Kinetik Enerji K_{E,X}+K_{E,Y} = E + 3E = 4E 4E
5. Yay Potansiyel Enerjisi Sıkıştırma sonucu depolanan enerji = Toplam KE = 4E 4E
6. İfadelerin Geçerliliği I, II, III Üçü de doğrudur.

Sonuç ve Kısa Özet

Bu problemde, ip kesilmesiyle 3m kütleli X cisminin E kadar kinetik enerji, m kütleli Y cisminin ise 3E kadar kinetik enerji kazandığı görülür. Sürtünmesiz ortamda sistemin toplam momentumu korunduğundan, cisimlerin momentumu eşit ve zıt yöndedir. Öte yandan, tüm yay potansiyel enerjisi (yani sıkıştırma sırasında yapılan iş) son durumda X ile Y’nin toplam kinetik enerjisine dönüştüğü için yayda 4E kadar enerji depolandığı sonucuna varılır.

Dolayısıyla, sorudaki “I, II, III” ifadelerinin tamamı (hepsi) doğrudur.

@B.139

1 Beğeni